Рассматривается последовательность  1, ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅙, ¹/₇, ...  Существует ли арифметическая прогрессия
  а) длины 5;
  б) сколь угодно большой длины,
составленная из членов этой последовательности?

   Решение

Каждая из двух равных окружностей ω₁ и ω₂ проходит через центр другой. Треугольник ABC вписан в ω₁, а прямые AC, BC касаются ω₂.
Докажите, что  cos∠A + cos∠B = 1.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 81]      

Какое наименьшее число соединений требуется для организации проводной сети связи из 10 узлов, чтобы при выходе из строя любых двух узлов связи сохранялась возможность передачи информации между любыми двумя оставшимися (хотя бы по цепочке через другие узлы)?

Прислать комментарий

Решение

а) Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть  r₁ ≤ r₂ ≤ r₃ ≤ r₄  – взятые в порядке возрастания радиусы вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA, DAB. Может ли оказаться, что  r₄ > 2r₃?

б) В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке E. Пусть  r₁ ≤ r₂ ≤ r₃ ≤ r₄  – взятые в порядке возрастания радиусы вписанных окружностей треугольников ABE, BCE, CDE, DAE. Может ли оказаться, что  r₂ > 2r₁?

Прислать комментарий

Решение

Каждая из двух равных окружностей ω₁ и ω₂ проходит через центр другой. Треугольник ABC вписан в ω₁, а прямые AC, BC касаются ω₂.
Докажите, что  cos∠A + cos∠B = 1.

Прислать комментарий

Решение

Даны натуральные числа a и b, причём  a < 1000.  Докажите, что если a²¹ делится на b¹⁰, то a² делится на b.

Прислать комментарий

Решение

Выпуклый пятиугольник ABCDE таков, что  AB || CD,  BC || AD,  AC || DE,  CE ⊥ BC.  Докажите, что EC – биссектриса угла BED.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 81]