Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 79]

Задача 110221

Тема:

[

Задачи на движение

]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Авторы: Богданов И.И., Кожевников П.А., Подлипский О.К., Челноков Г.Р.

В круговых автогонках участвовали четыре гонщика. Их машины стартовали одновременно из одной точки и двигались с постоянными скоростями. Известно, что после начала гонок для каждых трёх машин нашёлся момент, когда они встретились. Докажите, что после начала гонок найдётся момент, когда встретятся все четыре машины. (Гонки считаем бесконечно долгими по времени.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 116076

Темы:	[	Четырехугольная пирамида	]
	[	Цилиндр	]
	[	Правильная пирамида	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Кожевников П.А.

Bсе ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 1, а все вершины лежат на боковой поверхности (бесконечного) прямого кругового цилиндра радиуса R. Найдите все возможные значения R.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116568

Темы:	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Кожевников П.А.

Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведённые через точки B и C, пересекают касательную к ω, проведённую через точку A, в точках K и L соответственно. Прямая, проведённая через K параллельно AB, пересекается с прямой, проведённой через L параллельно AC, в точке P. Докажите, что BP = CP.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67005

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Центральное проектирование	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Кожевников П.А., Кузнецов А.

Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67291

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Возрастающая последовательность натуральных чисел $a_1 < a_2 < \dots$ такова, что при каждом целом $n > 100$ число $a_n$ равно наименьшему натуральному числу, большему чем $a_{n-1}$ и не делящемуся ни на одно из чисел $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$. Докажите, что в такой последовательности лишь конечное количество составных чисел.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 79]