Страница:
<< 10 11 12 13 14 15
16 >> [Всего задач: 79]
Окружность, вписанная в угол с вершиной
O касается
его сторон в точках
A и
B ,
K – произвольная точка
на меньшей из двух дуг
AB этой окружности. На прямой
OB
взята точка
L такая, что прямые
OA и
KL параллельны.
Пусть
M – точка пересечения окружности
, описанной
около треугольника
KLB , с прямой
AK , отличная от
K .
Докажите, что прямая
OM касается окружности
.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10
|
Натуральное число
b назовём
удачным, если для любого натурального
a, такого, что
a5 делится на
b², число
a² делится на
b.
Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Четырёхугольник ABCD описан около окружности ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке O. Окружность ω1 касается стороны BC в точке K и продолжений сторон AB и CD; окружность ω2 касается стороны AD в точке L и продолжений сторон AB и CD. Известно, что точки O, K и L лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон BC, AD и центр окружности ω лежат на одной прямой.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
В выпуклом четырёхугольнике ABCD провели биссектрисы la, lb, lc и ld внешних углов при
вершинах A, B, C и D соответственно. Точки пересечения прямых la и lb, lb и lc, lc и ld, ld и la обозначили через K, L, M и N. Известно, что три перпендикуляра, опущенных из точки K на AB, из L на BC, из M на CD пересекаются в одной точке. Докажите, что четырёхугольник ABCD – вписанный.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведена высота $AA_0$.
Окружность $\gamma$ с центром в середине $AA_0$ касается прямых $AB$ и $AC$. Из точки $X$ прямой $BC$ проведены две касательные к $\gamma$.
Докажите, что эти касательные высекают на прямых $AB$ и $AC$ равные отрезки.
Страница:
<< 10 11 12 13 14 15
16 >> [Всего задач: 79]
Все авторы
>>
Кожевников П.А. 
