Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 86]

Задача 108149

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Средняя линия трапеции	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Четырёхугольник ABCD описан около окружности ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке O. Окружность ω₁ касается стороны BC в точке K и продолжений сторон AB и CD; окружность ω₂ касается стороны AD в точке L и продолжений сторон AB и CD. Известно, что точки O, K и L лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон BC, AD и центр окружности ω лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108248

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Кожевников П.А.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD провели биссектрисы l_a, l_b, l_c и l_d внешних углов при вершинах A, B, C и D соответственно. Точки пересечения прямых l_a и l_b, l_b и l_c, l_c и l_d, l_d и l_a обозначили через K, L, M и N. Известно, что три перпендикуляра, опущенных из точки K на AB, из L на BC, из M на CD пересекаются в одной точке. Докажите, что четырёхугольник ABCD – вписанный.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66790

Темы:	[	Проективная геометрия (прочее)	]
Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Кожевников П.А.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведена высота $AA_0$. Окружность $\gamma$ с центром в середине $AA_0$ касается прямых $AB$ и $AC$. Из точки $X$ прямой $BC$ проведены две касательные к $\gamma$. Докажите, что эти касательные высекают на прямых $AB$ и $AC$ равные отрезки.

Прислать комментарий Решение

Задача 67495

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Дана окружность $\omega_1$, а внутри неё — окружность $\omega_2$. Выбирают произвольную окружность $\omega_3$, которая касается двух предыдущих, причём оба касания внутренние. Точки касания соединяют отрезком, а через точку пересечения этого отрезка с окружностью $\omega_2$ проводят касательную к $\omega_2$ и получают хорду окружности $\omega_3$. Докажите, что концы всех таких хорд (полученных при всевозможных выборах окружности $\omega_3$) лежат на фиксированной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67518

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Френкин Б.Р., Кожевников П.А.

Дано натуральное число $n$. Натуральное число $m$ назовём удачным, если найдутся $m$ последовательных натуральных чисел, сумма которых равна сумме $n$ следующих за ними натуральных чисел. Докажите, что количество удачных чисел нечётно.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 86]