Эллипс $\Gamma_1$ c фокусами в серединах сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $A$, а эллипс $\Gamma_2$ c фокусами в серединах сторон $AC$ и $BC$ проходит через вершину $C$. Докажите, что точки пересечения этих эллипсов и ортоцентр треугольника $ABC$ лежат на одной прямой.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 19]      

Вписанная в треугольник $ABC$ окружность с центром $I$ касается его сторон $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Вневписанная окружность с центром $J$ касается стороны $AC$ в точке $B_2$ и продолжений сторон $AB$ и $BC$ в точках $C_2$ и $A_2$ соответственно. Пусть прямые $IB_2$ и $JB_1$ пересекаются в точке $X$, прямые $IC_2$ и $JC_1$ – в точке $Y$, прямые $IA_2$ и $JA_1$ – в точке $Z$. Докажите, что если одна из точек $X$, $Y$, $Z$ лежит на вписанной окружности, то и две другие тоже.

Прислать комментарий

Решение

Эллипс $\Gamma_1$ c фокусами в серединах сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ проходит через вершину $A$, а эллипс $\Gamma_2$ c фокусами в серединах сторон $AC$ и $BC$ проходит через вершину $C$. Докажите, что точки пересечения этих эллипсов и ортоцентр треугольника $ABC$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Отрезки $BB_1$ и $A_1C_1$ пересекаются в точке $D$. Точка $E$ – проекция точки $D$ на сторону $AC$. Точки $P$ и $Q$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно так, что $EP=PD$, $EQ=QD$. Докажите, что $\angle PDB_1=\angle EDQ$.

Прислать комментарий

Решение

Хорда $DE$ описанной около треугольника $ABC$ окружности пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно, точка $P$ лежит между $D$ и $Q$. В треугольниках $ADP$ и $QEC$ провели биссектрисы $DF$ и $EG$. Оказалось, что точки $D$, $F$, $G$, $E$ лежат на одной окружности. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$, $C$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 19]