Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан треугольник $ABC$ и окружности $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ с центрами $X$, $Y$, $Z$, $T$ соответственно такие, что каждая из прямых $BC$, $CA$, $AB$ высекает на них четыре равных отрезка. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника $ABC$ делит отрезок с концами в $X$ и радикальном центре $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ в отношении $2:1$, считая от $X$.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67313

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четырехугольник (неравенства) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Дан описанный четырёхугольник $ABCD$ с тупым углом $ABC$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$, а лучи $DA$ и $CB$  – в точке $Q$. Докажите, что $|AD - CD| \geq |r_1 - r_2|$, где $r_1$ и $r_2$  – радиусы вписанных окружностей треугольников $PBC$ и $QAB$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67364

Темы:   [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Прямая $l \parallel AC$ пересекает прямые $AD, BC, AB, CD$ в точках $X, Y, Z, T$. Описанные окружности треугольников $XYB$ и $ZTB$ вторично пересекаются в точке $R$. Докажите, что $R$ лежит на прямой $BD$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67353

Темы:   [ Теорема синусов ] [ Формулы для площади треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Через вершины $A$, $B$, $C$ треугольника $ABC$ провели прямые $a_1, b_1, c_1$ соответственно. Отразим $a_1$, $b_1$, $c_1$ относительно биссектрис соответствующих углов треугольника $ABC$, получив $a_2$, $b_2$, $c_2$. Пусть $A_1=b_1\cap c_1$, $B_1=a_1\cap c_1$, $C_1=a_1\cap b_1$, аналогично определим $A_2$, $B_2$, $C_2$. Докажите, что у треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ одинаковое отношение площади к радиусу описанной окружности (т.е. $\frac{S_1}{R_1}=\frac{S_2}{R_2}$, где $S_i=S(\triangle A_iB_iC_i)$, $R_i=R(\triangle A_iB_iC_i)$).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67318

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Индукция (прочее) ] [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Дан многочлен степени $n \geqslant 1$ с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули коэффициентов этого многочлена не превосходят 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67368

Темы:   [ Изогональное сопряжение ] [ Прямая Гаусса ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Пусть $(P,P')$ и $(Q,Q')$ – две пары точек, изогонально сопряженных относительно треугольника $ABC$, $R$ – точка пересечения прямых $PQ$ и $P'Q'$. Докажите, что педальные окружности точек $P$, $Q$ и $R$ соосны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями