Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]

Задача 67313

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Четырехугольник (неравенства)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Шатунов Л.

Дан описанный четырёхугольник $ABCD$ с тупым углом $ABC$ . Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$ , а лучи $DA$ и $CB$ – в точке $Q$ . Докажите, что $|AD - CD| \geq |r_1 - r_2|$ , где $r_1$ и $r_2$ – радиусы вписанных окружностей треугольников $PBC$ и $QAB$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 67364

Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
Темы:	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шатунов Л.

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ . Прямая $l \parallel AC$ пересекает прямые $AD, BC, AB, CD$ в точках $X, Y, Z, T$ . Описанные окружности треугольников $XYB$ и $ZTB$ вторично пересекаются в точке $R$ . Докажите, что $R$ лежит на прямой $BD$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 67353

Темы:	[	Теорема синусов	]
Темы:	[	Формулы для площади треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Шатунов Л.

Через вершины $A$ , $B$ , $C$ треугольника $ABC$ провели прямые $a_1, b_1, c_1$ соответственно. Отразим $a_1$ , $b_1$ , $c_1$ относительно биссектрис соответствующих углов треугольника $ABC$ , получив $a_2$ , $b_2$ , $c_2$ . Пусть $A_1=b_1\cap c_1$ , $B_1=a_1\cap c_1$ , $C_1=a_1\cap b_1$ , аналогично определим $A_2$ , $B_2$ , $C_2$ . Докажите, что у треугольников $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ одинаковое отношение площади к радиусу описанной окружности (т.е. $\frac{S_1}{R_1}=\frac{S_2}{R_2}$ , где $S_i=S(\triangle A_iB_iC_i)$ , $R_i=R(\triangle A_iB_iC_i)$ ).

Прислать комментарий Решение

Задача 67318

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Теория чисел. Делимость (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шатунов Л.

Дан многочлен степени $n \geqslant 1$ с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули коэффициентов этого многочлена не превосходят 2.

Прислать комментарий Решение

Задача 67368

Темы:	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Прямая Гаусса	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Шатунов Л., Шеломовский В.

Пусть $(P,P')$ и $(Q,Q')$ – две пары точек, изогонально сопряженных относительно треугольника $ABC$ , $R$ – точка пересечения прямых $PQ$ и $P'Q'$ . Докажите, что педальные окружности точек $P$ , $Q$ и $R$ соосны.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]