Версия для печати
Убрать все задачи

---

В наборе имеются гири массой 1 г, 2 г, 4 г, ... (все степени числа 2), причём среди гирь могут быть одинаковые. На две чашки весов положили гири так, чтобы наступило равновесие. Известно, что на левой чашке все гири различны. Докажите, что на правой чашке не меньше гирь, чем на левой.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109860  (#95.4.11.5)

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Для углов α , β , γ справедливо равенство sinα + sinβ + sinγ 2 . Докажите, что cosα + cosβ + cosγ .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109861  (#95.4.11.6)

Темы:   [ Линейные рекуррентные соотношения ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Числовая последовательность a₀ , a₁ , a₂ , такова, что при всех неотрицательных m и n ( m n ) выполняется соотношение

a_m+n+a_m-n=(a2m+a2n).
Найдите a1995 , если a₁=1 .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108193  (#95.4.11.7)

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Окружности S1 и S2 с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B (см рис.). Луч O1B пересекает окружность S2 в точке F , а луч O2B пересекает окружность S1 в точке E . Прямая, проходящая через точку B параллельно прямой EF , вторично пересекает окружности S1 и S2 в точках M и N соответственно. Докажите, что MN=AE+AF .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109870  (#95.4.11.8)

Темы:   [ Степень вершины ] [ Перестройки ] [ Раскраски ] [ Инварианты ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Улицы города Дужинска – простые ломаные, не пересекающиеся между собой во внутренних точках. Каждая улица соединяет два перекрёстка и покрашена в один из трёх цветов: белый, красный или синий. На каждом перекрёстке сходятся ровно три улицы, по одной каждого цвета. Перекрёсток называется положительным, если при его обходе против часовой стрелки цвета улиц идут в следующем порядке: белый, синий, красный, и отрицательным в противном случае. Докажите, что разность между числом положительных и числом отрицательных перекрёстков кратна 4.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109608  (#95.5.9.1)

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Товарный поезд, отправившись из Москвы в x часов y минут, прибыл в Саратов в y часов z минут. Время в пути составило z часов x минут.
Найдите все возможные значения x.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями