Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]

Задача 61478 (#11.051)

Темы:	[	Квадратные корни (прочее)	]
Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Докажите, что при всех натуральных n выполняется сравнение [(1 + $\sqrt{2}$ )ⁿ] $\equiv$ n(mod 2).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61479 (#11.052)

Тема:

[

Уравнения в целых числах

]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Докажите, что последовательность a_n = 1 + 17n² (n ≥ 0) содержит бесконечно много квадратов целых чисел.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61480 (#11.053)

Тема:

[

Линейные рекуррентные соотношения

]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Определим последовательности {x_n} и {y_n} при помощи условий:

x_n = x_{n - 1} + 2y_{n - 1}sin² $\displaystyle \alpha$ , y_n = y_{n - 1} + 2x_{n - 1}cos² $\displaystyle \alpha$ ; x₀ = 0, y₀ = cos $\displaystyle \alpha$ .

Найдите выражение для x_n и y_n через n и $\alpha$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61481 (#11.054)

Темы:	[	Текстовые задачи (прочее)	]
	[	Итерации	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно пятую часть, после чего лёг спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Каким могло быть наименьшее число орехов в собранной куче?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61482 (#11.055)

Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
Темы:	[	Многочлены (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Как будет выглядеть формула n-го члена для рекуррентной последовательности k-го порядка, если
a) характеристическое уравнение имеет простые корни x₁,..., x_k, отличные от нуля;
б) характеристическое уравнение имеет отличные от нуля корни x₁, ..., x_m с кратностями α₁, ..., α_m соответственно?
Определения, связанные с рекуррентными последовательностями, смотри в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]