Версия для печати
Убрать все задачи

---

Натуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с положительными разностями  d₁, d₂, d₃, ... .  Может ли случиться, что при этом сумма   ¹/_d1 + ¹/_d2 + ... + ¹/_dk   не превышает 0,9? Рассмотрите случаи:
  а) общее число прогрессий конечно;
  б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимать в том смысле, что сумма любого конечного числа слагаемых из бесконечной суммы не превышает 0,9).

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 61277  (#09.026)

Темы:   [ Кубические многочлены ] [ Геометрия комплексной плоскости ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Докажите, что если корни многочлена  f(x) = x³ + ax² + bx + c  образуют правильный треугольник на комплексной плоскости, то многочлен
f'(x) = 3x² + 2ax + b  имеет двукратный корень, расположенный в центре этого треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61278  (#09.027)

Тема:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите, что если уравнения  x³ + px + q = 0,  x³ + p'x + q' = 0  имеют общий корень, то  (pq' – qp')(p – p')² = (q – q')³.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61279  (#09.028)

Темы:   [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Тригонометрия (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

а) Докажите, что при  4p³ + 27q² < 0  уравнение  x³ + px + q = 0  заменой  x = αy + β  сводится к уравнению ay³ – 3by² – 3ay + b = 0    (*)
от переменной y.

б) Докажите, что решениями уравнения (*) будут числа   y₁ = tg ,   y₂ = tg ,   y₃ = tg ,   где φ определяется из условий:
sin φ = ,   cos φ = .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61280  (#09.029)

Тема:   [ Уравнения высших степеней (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

  Этот метод позволяет решать произвольное уравнение 4-й степени путем сведения его к решению вспомогательного кубического уравнения и двух квадратных уравнений.
  а) Докажите, что любое уравнение 4-й степени можно привести к виду  x⁴ = Ax² + Bx + C.     (*)
  б) Введём действительный параметр α и перепишем уравнение (*) в виде  x⁴ + 2αx² + α² = (A + 2α)x² + Bx + (C + α²).     (**)
    Докажите, что для некоторого  α > – ^A/₂  правая часть равенства (**) превращается в полный квадрат.
  в) Пользуясь равенством (**), опишите метод нахождения корней уравнения (*).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями