Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 37]

Задача 78125

Темы:	[	Четырехугольники (построения)	]
Темы:	[	ГМТ - прямая или отрезок	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Дан четырёхугольник ABCD. Вписать в него прямоугольник с заданными направлениями сторон.

Прислать комментарий Решение

Задача 78127

Темы:	[	Правильный тетраэдр	]
	[	Объем помогает решить задачу	]
	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]

Сложность: 4
Классы: 11

Точка G — центр шара, вписанного в правильный тетраэдр ABCD. Прямая OG, соединяющая G с точкой O, лежащей внутри тетраэдра, пересекает плоскости граней в точках A', B', C', D'. Доказать, что

$\displaystyle {\frac{OA'}{GA'}}$ + $\displaystyle {\frac{OB'}{GB'}}$ + $\displaystyle {\frac{OC'}{GC'}}$ + $\displaystyle {\frac{OD'}{GD'}}$ = 4.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78128

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
Темы:	[	Десятичная система счисления	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Доказать, что число всех цифр в последовательности 1, 2, 3,..., 10^k равно числу всех нулей в последовательности 1, 2, 3,..., 10^{k + 1}.

Прислать комментарий Решение

Задача 78129

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
Темы:	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дано n целых чисел a₁ = 1, a₂, a₃, ..., a_n, причём a_i ≤ a_i+1 ≤ 2a_i (i = 1, 2,..., n – 1) и сумма всех чисел чётна. Можно ли эти числа разбить на две группы так, чтобы суммы чисел в этих группах были равны?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78100

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
Темы:	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 4+
Классы: 9

В прямоугольной таблице произведение суммы чисел любого столбца на сумму чисел любой строки равно числу, стоящему на их пересечении.
Доказать, что сумма всех чисел в таблице равна единице, или все числа равны нулю.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 37]