Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 110]

Задача 57050 (#06.038)

Темы:	[	Теорема Птолемея	]
Темы:	[	Неравенства с биссектрисами	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что AB + AC $\leq$ 2AD.

Прислать комментарий Решение

Задача 57051 (#06.039)

Темы:	[	Теорема Птолемея	]
Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

На дуге CD описанной окружности квадрата ABCD взята точка P. Докажите, что PA + PC = $\sqrt{2}$ PB.

Прислать комментарий Решение

Задача 57052 (#06.040)

Тема:

[

Теорема Птолемея

]

Сложность: 5
Классы: 9

Дан параллелограмм ABCD. Окружность, проходящая через точку A, пересекает отрезки AB, AC и AD в точках P, Q и R соответственно. Докажите, что AP^.AB = AR^.AD = AQ^.AC.

Прислать комментарий Решение

Задача 57053 (#06.041)

Тема:

[

Теорема Птолемея

]

Сложность: 5
Классы: 9

На дуге A₁A_{2n + 1} описанной окружности S правильного (2n + 1)-угольника A₁...A_{2n + 1} взята точка A. Докажите, что:
а) d₁ + d₃ + ... + d_{2n + 1} = d₂ + d₄ + ... + d_2n, где d_i = AA_i;
б) l₁ + ... + l_{2n + 1} = l₂ + ... + l_2n, где l_i — длина касательной, проведенной из точки A к окружности радиуса r, касающейся S в точке A_i (все касания одновременно внутренние или внешние).

Прислать комментарий Решение

Задача 57054 (#06.042)

Тема:

[

Теорема Птолемея

]

Сложность: 6
Классы: 9

Окружности радиуса x и y касаются окружности радиуса R, причем расстояние между точками касания равно a. Вычислите длину следующей общей касательной к первым двум окружностям:
а) внешней, если оба касания внешние или внутренние одновременно;
б) внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 110]