Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67294  (#1)

Темы:   [ Правильная пирамида ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Соображения непрерывности ] [ Построения в пространстве (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Дана треугольная пирамида $SABC$, основание которой – равносторонний треугольник $ABC$, а все плоские углы при вершине $S$ равны $\alpha$. При каком наименьшем $\alpha$ можно утверждать, что эта пирамида правильная?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67295  (#2)

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Существует ли целое $n>1$, удовлетворяющее неравенству $$[\sqrt{n-2} + 2\sqrt{n+2}] < [\sqrt{9n+6}]?$$ (Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67296  (#3)

Тема:   [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В таблице $44\times 44$ часть клеток синие, а остальные красные. Никакие синие клетки не граничат друг с другом по стороне. Множество красных клеток, наоборот, связно по сторонам (от любой красной клетки можно добраться до любой другой красной, переходя из клетки в клетку через общую сторону и не заходя в синие клетки). Докажите, что синих клеток в таблице меньше трети.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67297  (#4)

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дан треугольник $ABC$. Пусть $I$ – центр его вписанной окружности, $P$ – такая точка на стороне $AB$, что угол $PIB$ прямой, $Q$ – точка, симметричная точке $I$ относительно вершины $A$. Докажите, что точки $C$, $I$, $P$, $Q$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67298  (#5)

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Геометрическая прогрессия ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Назовём рассадку $N$ кузнечиков на прямой в различные её точки $k$-удачной, если кузнечики, сделав необходимое число ходов по правилам чехарды, могут добиться того, что сумма попарных расстояний между ними уменьшится хотя бы в $k$ раз. При каких $N\geqslant2$ существует рассадка, являющаяся $k$-удачной сразу для всех натуральных $k$? (В чехарде за ход один из кузнечиков прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями