Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 55]

Задача 110124 (#03.4.11.7)

Темы:	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]
	[	Касательные к сферам	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

Дан тетраэдр ABCD. Вписанная в него сфера σ касается грани ABC в точке T. Сфера σ' касается грани ABC в точке T' и продолжений граней ABD, BCD, CAD. Докажите, что прямые AT и AT' симметричны относительно биссектрисы угла BAC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110131 (#03.4.11.8)

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Правило произведения	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Сочетания и размещения	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Хромин Ю.

В наборе из 17 внешне одинаковых монет две фальшивых, отличающихся от остальных по весу. Известно, что суммарный вес двух фальшивых монет вдвое больше веса настоящей. Всегда ли можно ли определить пару фальшивых монет, совершив пять взвешиваний на чашечных весах без гирь? (Определять, какая из фальшивых монет тяжелее, не требуется.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 109787 (#03.5.9.1)

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
Темы:	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Числовое множество M, содержащее 2003 различных числа, таково, что для каждых двух различных элементов a, b из M число
рационально. Докажите, что для любого a из M число рационально.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108125 (#03.5.9.2)

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Берлов С.Л.

Окружности S₁ и S₂ с центрам O₁ и O₂ соответственно пересекаются в точках A и B. Касательные к S₁ и S₂ в точке A пересекают отрезки BO₂ и BO₁ в точках K и L соответственно. Докажите, что KL || O₁O₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109789 (#03.5.9.3)

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Дольников В.Л.

На прямой расположены 2k-1 белый и 2k-1 черный отрезок. Известно, что любой белый отрезок пересекается хотя бы с k черными, а любой черный – хотя бы с k белыми. Докажите, что найдутся черный отрезок, пересекающийся со всеми белыми, и белый отрезок, пересекающийся со всеми черными.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 55]