Внутри клетчатого прямоугольника периметра 50 клеток по границам клеток вырезана прямоугольная дырка периметра 32 клетки (дырка не содержит граничных клеток). Если разрезать эту фигуру по всем горизонтальным линиям сетки, получится 20 полосок шириной в 1 клетку. А сколько полосок получится, если вместо этого разрезать её по всем вертикальным линиям сетки? (Квадратик 1 × 1 — это тоже полоска!)

   Решение

Решите систему уравнений:
    ¹/_x + ¹/_y = 6,
    ¹/_y + ¹/_z = 4,
    ¹/_z + ¹/_x = 5.

   Решение

Правильный треугольник со стороной 3 разбит на девять треугольных клеток, как показано на рисунке. В этих клетках изначально записаны нули. За один ход можно выбрать два числа, находящиеся в соседних по стороне клетках, и либо прибавить к обоим по единице, либо вычесть из обоих по единице. Петя хочет сделать несколько ходов так, чтобы после этого в клетках оказались записаны в некотором порядке последовательные натуральные числа  n, n + 1, ..., n + 8.  При каких n он сможет это сделать?

   Решение

Доказать, что никакую прямоугольную шахматную доску шириной в 4 клетки нельзя обойти ходом шахматного коня, побывав на каждом поле по одному разу и последним ходом вернувшись на исходную клетку.

   Решение

Пусть AP и BQ – высоты данного остроугольного треугольника ABC. Постройте циркулем и линейкой на стороне AB точку M так, чтобы
∠AQM = ∠BPM.

   Решение

Петя вырезал из пластмассы неравносторонний треугольник. Покажите, каким образом можно, пользуясь только этим инструментом как шаблоном, построить биссектрису какого-нибудь угла треугольника, равного вырезанному.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

а) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся парой окружностей.
б) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся одной окружностью и радикальной осью.

Прислать комментарий

Решение

Пусть f (x, y) = x² + y² + a₁x + b₁y + c₁ и g(x, y) = x² + y² + a₂x + b₂y + c₂. Докажите, что для любого вещественного 1 уравнение f - g = 0 задаёт окружность из пучка окружностей, порождённого окружностями f = 0 и g = 0.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что любая окружность пучка либо пересекает радикальную ось в двух фиксированных точках (эллиптический пучок), либо касается радикальной оси в фиксированной точке (параболический пучок), либо не пересекает радикальную ось (гиперболический пучок).

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что гиперболический пучок содержит две предельные точки, параболический — одну, а эллиптический — ни одной.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если окружность ортогональна двум окружностям пучка, то она ортогональна и всем остальным окружностям пучка.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]