Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 173]

Задача 60589 (#03.137)

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Числа Фибоначчи	]
	[	Метод спуска	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Решите в целых числах уравнения: а) x² – xy – y² = 1; б) x² – xy – y² = –1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60590 (#03.138)

Темы:	[	Алгоритм Евклида	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Числа Фибоначчи	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что в последовательности чисел Фибоначчи при m ≥ 2 встречается не менее четырёх и не более пяти m-значных чисел.
б) Докажите, что число F_5n+2 (n ≥ 0) содержит в своей десятичной записи не менее n + 1 цифры.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60591 (#03.139)

Темы:	[	Алгоритм Евклида	]
Темы:	[	Числа Фибоначчи	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Рассмотрим алгоритм Евклида из задачи 60488, состоящий из k шагов.
Докажите, что начальные числа m₀ и m₁ должны удовлетворять неравенствам m₁ ≥ F_k+1, m₀ ≥ F_k+2.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60592 (#03.140)

[Теорема Ламе]

Темы:	[	Алгоритм Евклида	]
Темы:	[	Числа Фибоначчи	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Пусть число m₁ в десятичной системе счисления записывается при помощи n цифр.
Докажите, что при любом m₀ число шагов k в алгоритме Евклида для чисел m₀ и m₁ удовлетворяет неравенству k ≤ 5n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60593 (#03.141)

[Фибоначчиевы коэффициенты]

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

							1
						1		1
					1		1		1
				1		2		2		1
			1		3		6		3		1
		1		5		15		15		5		1
	1		8		40		60		40		8		1
1		13		104		260		260		104		13		1

Данная таблица аналогична треугольнику Паскаля и состоит из фибоначчиевых коэффициентов

определяемых равенством

а) Докажите, что фибоначчиевы коэффициенты обладают свойством симметрии

б) Найдите формулу, которая выражает коэффициент через и (аналогичную равенству б) из задачи 60413).

в) Объясните, почему все фибоначчиевы коэффициенты являются целыми числами.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 173]