Каталог по источникам

Выбрано 7 задач

Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком `` плюс'', а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком `` минус''. Докажите, что для любого такого пути алгебраическая сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю. (Эту задачу не решил никто из участников олимпиады.)

Решение

а) Выбраны 6 различных цветов; требуется раскрасить 6 граней куба, каждую в особый цвет из числа избранных. Сколькими геометрически различными способами можно это сделать? Геометрически различными называются две такие расцветки, которые нельзя совместить одну с другой при помощи вращений куба вокруг его центра.
б) Решить ту же задачу для случая раскраски граней додекаэдра в 12 различных цветов.

Решение

Отметьте несколько точек и несколько прямых так, чтобы на каждой прямой лежало ровно три отмеченные точки и через каждую точку проходило ровно три отмеченные прямые.

Решение

Вершины параллелограмма A₁B₁C₁D₁ лежат на сторонах параллелограмма ABCD (точка A₁ лежит на стороне AB, точка B₁ – на стороне BC и т. д.).
Докажите, что центры обоих параллелограммов совпадают.

Решение

Определить наибольшее значение отношения трёхзначного числа к числу, равному сумме цифр этого числа.

Решение

Передние покрышки автомобиля "Антилопа Гну" выходят из строя через 25000 км, а задние – через 15000 км. Когда О. Бендер должен поменять их местами, чтобы машина прошла максимальное расстояние? Чему равно это расстояние?

Решение

Найти действительные корни уравнения:

x² + 2ax + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{16}}$ = - a + $\displaystyle \sqrt{a^2+x-\frac{1}{16}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{0<a<\frac{1}{4}}\right.$ 0 < a < $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{0<a<\frac{1}{4}}\right)$ .

Решение

Задача 32074 (#16)

Задача 32075 (#17)

Задача 32076 (#18)