Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
2020 год
>>
11 класс. Второй день
Фильтр
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи
Решение
Убрать все задачи
В Швамбрании N городов, каждые два соединены дорогой. При этом дороги
сходятся лишь в городах (нет перекрёстков, одна дорога поднята эстакадой над
другой). Злой волшебник устанавливает на всех дорогах одностороннее движение
таким образом, что если из города можно выехать, то в него нельзя вернуться.
Доказать, что
а) волшебник может это сделать;
б) найдётся город, из которого можно добраться до всех, и
найдётся город, из которого нельзя выехать;
в) существует единственный путь, обходящий все города;
г) волшебник может осуществить своё намерение N! способами.
Решение
Задачи
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Мальчик едет на самокате от одной автобусной остановки до
другой и смотрит в зеркало, не появился ли сзади автобус. Как только
мальчик замечает автобус, он может изменить направление движения. При
каком наибольшем расстоянии между остановками мальчик гарантированно
не упустит автобус, если он знает, что едет со скоростью, втрое меньшей
скорости автобуса, и способен увидеть автобус на расстоянии не более
2 км?
Решите уравнение
$$\tan\pi {}x = [\lg \pi^x]-[\lg [\pi^x]],$$
где $[a]$ обозначает наибольшее целое
число, не превосходящее $a$.
За круглым вращающимся столом, на котором стоят 8 белых и
7 чёрных чашек, сидят 15 гномов. Они надели 8 белых и 7 чёрных
колпачков. Каждый гном берёт себе чашку, цвет которой совпадает с
цветом его колпачка, и ставит напротив себя, после этого стол
поворачивается случайным образом. Какое наибольшее число совпадений
цвета чашки и колпачка можно гарантировать после поворота стола (гномы
сами выбирают, как сесть, но не знают, как повернётся стол)?
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ взяли такую точку $D$,
что угол $BDC$ равен углу $ABC$. Чему равно наименьшее возможное
расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников
$ABC$ и $ABD$, если $BC = 1$?
Кузнечик прыгает по числовой прямой, на которой отмечены
точки $-a$ и $b$. Известно, что $a$ и $b$ — положительные числа, а
их отношение иррационально. Если кузнечик находится в точке, которая
ближе к $-a$, то он прыгает вправо на расстояние, равное $a$. Если же
он находится в середине отрезка $[-a;b]$ или в точке, которая ближе к
$b$, то он прыгает влево на расстояние, равное $b$. Докажите, что
независимо от своего начального положения кузнечик в некоторый момент
окажется от точки 0 на расстоянии, меньшем $10^{-6}$.
Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 66574 (#1) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 66575 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66576 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66577 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66578 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
