ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 1. Метод математической индукции
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

24 студента решали 25 задач. У преподавателя есть таблица размером 24×25, в которой записано, кто какие задачи решил. Оказалось, что каждую задачу решил хотя бы один студент. Докажите, что
  а) можно отметить некоторые задачи "галочкой" так, что каждый из студентов решил чётное число (в частности, может быть, нуль) отмеченных задач;
  б) можно отметить некоторые из задач знаком "+", а некоторые из остальных – знаком "–" и приписать каждой задаче некоторое натуральное число баллов так, чтобы каждый студент набрал поровну баллов за задачи, отмеченные знаками "+" и "–".

Вниз   Решение

Картинная галерея представляет собой невыпуклый n-угольник. Докажите, что для обзора всей галереи достаточно [n/3] сторожей.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]      

  с решениями  

Задача 60289  (#01.016)

Тема:   [ Рекуррентные соотношения ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Числа a0, a1,..., an,... определены следующим образом:

a0 = 2,    a1 = 3,        an + 1 = 3an - 2an - 1        (n $\displaystyle \geqslant$ 2).

Найдите и докажите формулу для этих чисел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60290  (#01.017)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 2+
Классы: 9,10

Докажите, что для любого натурального n  10n + 18n – 1  делится на 27.

Прислать комментарий     Решение

Задача 30607  (#01.018)

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что  11n+2 + 122n+1  делится на 133 при любом натуральном n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60292  (#01.019)

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Докажите, что для любого натурального n  25n+3 + 5n·3n+2  делится на 17.

Прислать комментарий     Решение

Задача 31250  (#01.020)

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 2+
Классы: 6,7,8

Доказать, что  n³ + 5n  делится на 6 при любом целом n.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .