-
осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
(5 задач)
осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
(5 задач)
осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
(7 задач)
осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
(7 задач)
весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
(5 задач)
весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
(5 задач)
весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
(7 задач)
весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
(7 задач)
Фильтр
Задачи
Задача 64440 |
|
|
В турнире участвуют 100 борцов, все разной силы. Более сильный всегда побеждает более слабого. Борцы разбились на пары и провели поединки. Затем разбились на пары по-другому и снова провели поединки. Призы получили те, кто выиграл оба поединка. Каково наименьшее возможное количество призёров?
Решение
Самый сильный обязательно станет призёром.
Покажем, что может быть ровно один призёр. Пронумеруем борцов по возрастанию силы от 1 до 100. В первом туре проведём поединки
1 – 2, 3 – 4, ..., 99 – 100, во втором – 100 – 1, 2 – 3, ..., 98 – 99. Тогда каждый, кроме самого сильного, в одном из туров проиграет.
Ответ
Один.
|
|
Задача 64642 |
|
|
Даны 100 чисел. Когда каждое из них увеличили на 1, сумма их квадратов не изменилась. Каждое число ещё раз увеличили на 1.
Изменится ли сумма квадратов на этот раз, и если да, то на сколько?
Решение
(a + 2)² – (a + 1)² = (a + 1)² – a² + 2. Поэтому второе изменение на 2·100 больше первого.
Ответ
Увеличится на 200.
|
|
|
Задача 64647 |
|
|
У Чебурашки есть набор из 36 камней массами 1 г, 2 г, ..., 36 г, а у Шапокляк есть суперклей, одной каплей которого можно склеить два камня в один (соответственно, можно склеить три камня двумя каплями и так далее). Шапокляк хочет склеить камни так, чтобы Чебурашка не смог из получившегося набора выбрать один или несколько камней общей массой 37 г. Какого наименьшего количества капель клея ей хватит, чтобы осуществить задуманное?
Решение
Пример. Склеив попарно камни с массами 1 и 18, 2 и 17, ..., 9 и 10, Шапокляк получит набор, в котором каждый камень весит от 19 до 36 г, поэтому одного камня Чебурашке будет мало, а двух – уже много.
Другой способ. Склеив попарно все камни с нечётными массами, Шапокляк получит набор, в котором все камни будут иметь чётные массы, и составить нечётную массу Чебурашка не сможет.
Оценка. Если Шапокляк использует только 8 капель, то в склейках будут участвовать не больше 16 исходных камней. Поэтому хотя бы одна из 18 пар
{1, 36}, {2, 35}, …, {18, 19} окажется "нетронутой", и Чебурашка сможет выбрать её.
Ответ
9 капель.
|
|
|
Задача 64651 |
|
|
Дед Мороз раздал детям 47 шоколадок так, что каждая девочка получила на одну шоколадку больше, чем каждый мальчик. Затем дед Мороз раздал тем же детям 74 мармеладки так, что каждый мальчик получил на одну мармеладку больше, чем каждая девочка. Сколько всего было детей?
Решение
Всего была роздана 121 сладость, причём все дети получили поровну. Значит, количество детей – делитель числа 121, то есть 1, 11 или 121.
Первый случай, очевидно, не подходит. Во втором случае 8 мальчиков получили по 4 шоколадки и 7 мармеладок, а 3 девочки – по 5 шоколадок и 6 мармеладок. В третьем случае 47 девочек получили по шоколадке, а 74 мальчика – по мармеладке.
Ответ
11 или 121.
|
|
|
Задача 64658 |
|
|
Незнайка хвастается, что написал в ряд несколько единиц, поставил между каждыми соседними единицами знак "+" или "×", расставил скобки и получил выражение, значение которого равно 2014; более того, если в этом выражении заменить одновременно все знаки "+" на знаки "×", а знаки "×" на знаки "+", все равно получится 2014. Может ли он быть прав?
Решение
Незнайка мог написать 2∙2013 + 1 единиц и расставить на любые 2013 мест знаки "+", а на остальные 2013 – знаки "×". В любом случае значение выражения равно 2014, и произвольная перестановка знаков его не изменит.
Ответ
Может.
|
|
|
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 43]
