Версия для печати
Убрать все задачи

---

У нумизмата есть 100 одинаковых по внешнему виду монет. Он знает, что среди них 30 настоящих и 70 фальшивых монет. Кроме того, он знает, что массы всех настоящих монет одинаковы, а массы всех фальшивых – разные, причём каждая фальшивая монета тяжелее настоящей; однако точные массы монет неизвестны. Имеются двухчашечные весы без гирь, на которых можно за одно взвешивание сравнить массы двух групп, состоящих из одинакового числа монет. За какое наименьшее количество взвешиваний на этих весах нумизмат сможет гарантированно найти хотя бы одну настоящую монету?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97790  (#1)

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Подсчет двумя способами ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ] [ Раскладки и разбиения ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Докажите для каждого натурального числа  n > 1  равенство:   [n^1/2] + [n^1/3] + ... + [n^1/n] = [log₂n] + [log₃n] + ... + [log_nn].

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97791  (#2)

Темы:   [ Остовы многогранных фигур ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Существует ли многогранник (не обязательно выпуклый), полных список рёбер которого имеет вид: AB, AC, BC, BD, CD, DE, EF, EG, FG, FH, GH, AH (на рисунке приведена схема соединения рёбер)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97792  (#3)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

На полосе бумаги написаны подряд 60 знаков: "×" и "0". Эту полоску разрезают на куски с симметричным расположением знаков. Например:
0,  × ×,  0 × × × × 0,  × 0 ×,  ... .
  а) Докажите, что существует такой способ разрезания, при котором кусков не больше 24.
  б) Приведите пример такого расположения знаков, при котором меньше 15 кусков получить нельзя.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97793  (#4)

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Правильный тетраэдр ] [ Линейные зависимости векторов ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

а) Из произвольной точки M внутри правильного n-угольника проведены перпендикуляры  MK₁, MK₂, ..., MK_n  к его сторонам (или их продолжениям). Докажите, что      (O – центр n-угольника).

б) Докажите, что сумма векторов, проведённых из любой точки M внутри правильного тетраэдра перпендикулярно к его граням, равна     где O – центр тетраэдра.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97794  (#5)

Темы:   [ Топология ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

Марсианское метро на плане имеет вид замкнутой самопересекающейся линии, причём в одной точке может происходить только одно самопересечение. (Линия нигде не касается сама себя.) Доказать, что тоннель с таким планом можно прорыть так, что поезд будет проходить попеременно под и над пересекающей линией.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями