Натуральные числа M и K отличаются перестановкой цифр.
Доказать, что
  а) сумма цифр числа 2M равна сумме цифр числа 2K;
  б) сумма цифр числа ^M/₂  равна сумме цифр числа ^K/₂  (если M и K чётны);
  в) сумма цифр числа 5M равна сумме цифр числа 5K.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]      

Даны два взаимно простых числа p, q, больших 1 и различающихся больше, чем на 1. Докажите, что найдётся натуральное n, для которого НОК(p + n, q + n) < НОК(p, q).

Прислать комментарий

Решение

Существует ли целое $n>1$, удовлетворяющее неравенству $$[\sqrt{n-2} + 2\sqrt{n+2}] < [\sqrt{9n+6}]?$$ (Здесь $[x]$ обозначает целую часть числа $x$, то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$.)

Прислать комментарий

Решение

Существует ли натуральное число, которое можно представить в виде произведения двух палиндромов более чем 100 способами? (Палиндромом называется натуральное число, которое одинаково читается как слева направо, так и справа налево.)

Прислать комментарий

Решение

Пятиугольник $ABCDE$ описан около окружности. Углы при его вершинах $A$, $C$ и $E$ равны $100^\circ$. Найдите угол $ACE$.

Прислать комментарий

Решение

У Пети есть 8 монет, про которые он знает только, что 7 из них настоящие и весят одинаково, а одна фальшивая и отличается от настоящей по весу, неизвестно в какую сторону. У Васи есть чашечные весы – они показывают, какая чашка тяжелее, но не показывают, насколько. За каждое взвешивание Петя платит Васе (до взвешивания) одну монету из имеющихся у него. Если уплачена настоящая монета, Вася сообщит Пете верный результат взвешивания, а если фальшивая, то случайный. Петя хочет определить 5 настоящих монет и не отдать ни одну из этих монет Васе. Может ли Петя гарантированно этого добиться?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]