Версия для печати
Убрать все задачи

---

В компании из k человек (k > 3) у каждого появилась новость, известная ему одному. За один телефонный разговор двое сообщают друг другу все известные им новости. Докажите, что за 2k – 4 разговора все они могут узнать все новости.

   Решение

---

Пусть α – корень уравнения  x² + px + q = 0,  а β – уравнения  x² – px – q = 0.  Докажите, что между α и β лежит корень уравнения  x² – 2px – 2q = 0.

   Решение

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 99]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30677  (#091)

Тема:   [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Докажите, что  7¹²⁰ – 1  делится на 143.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30678  (#092)

Тема:   [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Докажите, что число  30²³⁹ + 239³⁰  составное.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30679  (#093)

Тема:   [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Пусть p – простое число. Докажите, что  (a + b)^p ≡ a^p + b^p (mod p)  для любых целых a и b.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30680  (#094)

Темы:   [ Малая теорема Ферма ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Сумма трёх чисел a, b и c делится на 30. Докажите, что  a⁵ + b⁵ + c⁵  также делится на 30.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30681  (#095)

Тема:   [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Пусть p и q – различные простые числа. Докажите, что
  а)  p^q + q^p ≡ p + q (mod pq);

  б)   – чётное число, если  p, q ≠ 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 99]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями