Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть l₁, l₂, ..., l_n — несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке X₁, X₂, ..., X_n так, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямой l_k в точке X_k (для любого натурального k < n), проходил через точку X_{k + 1}, а перпендикуляр, восставленный к прямой l_n в точке X_n, проходил через точку X₁.

Попробуйте сформулировать и доказать аналогичную теорему в пространстве.

   Решение

---

Из вершины тупого угла А треугольника АВС опущена высота AD. Проведена окружность с центром D и радиусом DA, которая вторично пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Найдите AC, если  AB = c,  AM = m  и  AN = n.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98055  (#1)

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что при любом натуральном n найдётся ненулевой многочлен P(x) с коэффициентами, равными 0, –1, 1, степени не больше 2ⁿ, который делится на
(x – 1)ⁿ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98056  (#2)

Темы:   [ Взвешивания ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Рассматривается набор гирь, каждая из которых весит целое число граммов, а общий вес всех гирь равен 500 граммов. Такой набор называется правильным, если любое тело, имеющее вес, выраженный целым числом граммов от 1 до 500, может быть уравновешено некоторым количеством гирь набора, и притом единственным образом (тело кладётся на одну чашку весов, гири – на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирь на другие того же веса, считаются одинаковыми).
  а) Приведите пример правильного набора, в котором не все гири по одному грамму.
  б) Сколько существует различных правильных наборов?
(Два набора различны, если некоторая гиря участвует в этих наборах не одинаковое число раз.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98057  (#3)

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9,10

Хозяйка испекла для гостей пирог. За столом может оказаться либо p человек, либо q (p и q взаимно просты). На какое минимальное количество кусков (не обязательно равных) нужно заранее разрезать пирог, чтобы в любом случае его можно было раздать поровну?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108043  (#4)

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Трапеции (прочее) ] [ Выход в пространство ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

В трапеции ABCD  AB – основание,  AC = BC,  H – середина AB. Пусть l – прямая, проходящая через точку H и пересекающая прямые AD и BD в точках P и Q соответственно. Докажите, что либо углы ACP и QCB равны, либо их сумма равна 180°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98059  (#5)

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Свойства сечений ] [ Усеченная пирамида ] [ Выпуклые тела ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Существует ли выпуклый многогранник, одно из сечений которого – треугольник (сечение не проходит через вершины), и в каждой вершине сходятся
  а) не меньше пяти рёбер,
  б) ровно пять рёбер?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями