а) Пусть m₀ и m₁ – целые числа,  0 < m₁ ≤ m₀.  Докажите, что при некотором  k > 1  существуют такие целые числа a₀, a₁, ..., a_k и m₂, ..., m_k, что
m₁ > m₂ > m₃ > ... > m_k > 0,  a_k > 1,
  m₀ = m₁a₀ + m₂,
  m₁ = m₂a₁ + m₃,
  m₂ = m₃a₂ + m₄,
    ...
  m_k–2 = m_k–1a_k–1 + m_k,
  m_k–1 = m_ka_k,
и  (m₀, m₁) = m_k.

  б) Докажите, что для любого s от  k – 1  до 0 существуют такие числа u_s, v_s, что   m_su_s + m_s+1v_s = d,   где  d = (m₀, m₁).
  В частности, для некоторых u и v выполняется равенство  m₀u + m₁v = d.

   Решение

На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжёт). Однажды все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: "Он – рыцарь!", либо "Он – лжец!". Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?

   Решение

Квадратный лист клетчатой бумаги разбит на меньшие квадраты отрезками, идущими по сторонам клеток.
Докажите, что сумма длин этих отрезков делится на 4. (Длина стороны клетки равна 1.)

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

На отрезке длиной 1 закрашено несколько отрезков, причем расстояние между любыми двумя закрашенными точками не равно 0, 1. Докажите, что сумма длин закрашенных отрезков не превосходит 0, 5.

Прислать комментарий

Решение

Даны две окружности, длина каждой из которых равна 100 см. На одной из них отмечено 100 точек, а на другой — несколько дуг, сумма длин которых меньше 1 см. Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы ни одна отмеченная точка не попала на отмеченную дугу.

Прислать комментарий

Решение

Даны две одинаковые окружности. На каждой из них отмечено по k дуг, угловые величины каждой из которых меньше ^. 180^o, причем окружности можно совместить так, чтобы отмеченные дуги одной окружности совпали с отмеченными дугами другой. Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы все отмеченные дуги оказались на неотмеченных местах.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]