Версия для печати
Убрать все задачи

---

Из произвольной точки M, лежащей внутри правильного треугольника ABC, опущены перпендикуляры MC₁, MA₁, MB₁ на стороны AB, BC и CA соответственно. Докажите, что

   Решение

---

Найдите все такие целые положительные k, что число
1...12...2-2...2
является квадратом целого числа.
(В первом слагаемом (уменьшаемом) всего 2000 цифр, из которых на последних местах стоят цифры "2" в количестве k штук, а остальные цифры - "1";
второе слагаемое (вычитаемое) состоит из 1001 поряд стоящих цифр "2")

   Решение

---

Найдите ключ к "тарабарской грамоте"  — тайнописи, применявшейся ранее в России для дипломатической переписки: "Пайцике тсюг т "`камащамлтой чмароке"'  — кайпонили, нмирепяшвейля мапее ш Моллии цся цинсоракигелтой неменилти".

   Решение

---

Решите в натуральных числах уравнение  (1 + n^k)^l = 1 + n^m,  где  l > 1.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108153

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Площади криволинейных фигур ] [ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ] [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Плоская выпуклая фигура ограничена отрезками AB и AD и дугой BD некоторой окружности (рис.1). Постройте какую-нибудь прямую, которая делит пополам: а) периметр этой фигуры; б) её площадь.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105069

Темы:   [ Обход графов ] [ Раскраски ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Раскраска вершин графа называется правильной, если вершины одного цвета не соединены ребром. Некоторый граф правильно раскрашен в k цветов, причём его нельзя правильно раскрасить в меньшее число цветов. Докажите, что в этом графе существует путь, вдоль которого встречаются вершины всех k цветов ровно по одному разу.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105056

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Перебор случаев ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Найдите все такие целые положительные k, что число
1...12...2-2...2
является квадратом целого числа.
(В первом слагаемом (уменьшаемом) всего 2000 цифр, из которых на последних местах стоят цифры "2" в количестве k штук, а остальные цифры - "1";
второе слагаемое (вычитаемое) состоит из 1001 поряд стоящих цифр "2")

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105068

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Индукция в геометрии ] [ Целочисленные решетки (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

На лугу, имеющем форму квадрата, имеется круглая лунка. По лугу прыгает кузнечик. Перед каждым прыжком он выбирает вершину и прыгает по направлению к ней. Длина прыжка равна половине расстояния до этой вершины.
Сможет ли кузнечик попасть в лунку?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105070

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Решите в натуральных числах уравнение  (1 + n^k)^l = 1 + n^m,  где  l > 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями