Версия для печати
Убрать все задачи

---

Перечислить все последовательности длины n из чисел 1..k в таком порядке, чтобы каждая следующая отличалась от предыдущей в единственной цифре, причём не более, чем на 1.

   Решение

---

Через точку M пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая прямые BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что (1/) + (1/) + (1/) = 0 (отрезки MA₁, MB₁ и MC₁ считаются ориентированными).

   Решение

---

Найдите x₁₀₀₀, если  x₁ = 4,  x₂ = 6,  и при любом натуральном  n ≥ 3  x_n – наименьшее составное число, большее   2x_n–1 – x_n–2.

   Решение

---

Даны пятьдесят различных натуральных чисел, двадцать пять из которых не превосходят 50, а остальные больше 50, но не превосходят 100. При этом никакие два из них не отличаются ровно на 50. Найдите сумму этих чисел.

   Решение

---

а) В треугольнике ABC угол A больше угла B. Докажите, что BC > ½ AB.
б) В выпуклом четырёхугольнике ABCD угол A больше угла C, а угол D больше угла B. Докажите, что BC > ½ AD.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98143  (#1)

Тема:   [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

В банде 101 террорист. Все вместе они в вылазках ни разу не участвовали, а каждые двое встречались в вылазках ровно по разу.
Докажите, что один из террористов участвовал не менее чем в 11 различных вылазках.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108059  (#2)

Темы:   [ Перенос помогает решить задачу ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На каждой стороне параллелограмма выбрано по точке (выбранные точки отличны от вершин параллелограмма). Точки, лежащие на соседних (имеющих общую вершину) сторонах, соединены отрезками. Докажите, что центры описанных окружностей четырёх получившихся треугольников – вершины параллелограмма.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98145  (#3)

Тема:   [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Дано натуральное число M. Докажите, что существует число, кратное M, сумма цифр которого (в десятичной записи) нечётна.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108060  (#4)

Темы:   [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

а) В треугольнике ABC угол A больше угла B. Докажите, что BC > ½ AB.
б) В выпуклом четырёхугольнике ABCD угол A больше угла C, а угол D больше угла B. Докажите, что BC > ½ AD.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями