На сторонах единичного квадрата как на гипотенузах построены во внешнюю сторону прямоугольные треугольники. Пусть A, B, C и D – вершины их прямых углов, а O₁, O₂, O₃ и O₄ – центры вписанных окружностей этих треугольников. Докажите, что
  а) площадь четырёхугольника ABCD не превосходит 2;
  б) площадь четырёхугольника O₁O₂O₃O₄ не превосходит 1.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

У каждого целого числа от  n + 1  до 2n включительно (n – натуральное) возьмём наибольший нечётный делитель и сложим все эти делители.
Докажите, что получится n².

Прислать комментарий

Решение

Какое наименьшее количество квадратиков 1×1 надо нарисовать, чтобы получилось изображение квадрата 25×25, разделённого на 625 квадратиков 1×1?

Прислать комментарий

Решение

У продавца и покупателя в сумме 1999 рублей монетами и купюрами в 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 рублей. Кот в мешке стоит целое число рублей, причём денег у покупателя достаточно. Докажите, что покупатель сможет купить кота, получив причитающуюся сдачу.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах единичного квадрата как на гипотенузах построены во внешнюю сторону прямоугольные треугольники. Пусть A, B, C и D – вершины их прямых углов, а O₁, O₂, O₃ и O₄ – центры вписанных окружностей этих треугольников. Докажите, что
  а) площадь четырёхугольника ABCD не превосходит 2;
  б) площадь четырёхугольника O₁O₂O₃O₄ не превосходит 1.

Прислать комментарий

Решение

Бумажный тетраэдр разрезали по трём ребрам, не принадлежащим одной грани. Могло ли случиться, что полученную развёртку нельзя расположить на плоскости без самопересечений (в один слой).

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]