Найдите все такие тройки натуральных чисел m, n и l, что  m + n = (НОД(m, n))²,  m + l = (НОД(m, l))²,  n + l = (НОД(n, l))².

   Решение

На плоскости дано конечное множество точек X и правильный треугольник T . Известно, что любое подмножество X' множества X , состоящее из не более 9 точек, можно покрыть двумя параллельными переносами треугольника T . Докажите, что все множество X можно покрыть двумя параллельными переносами T .

   Решение

Найдите все четверки действительных чисел, в каждой из которых любое число равно произведению каких-либо двух других чисел.

   Решение

В каждую клетку квадратной таблицы размера  (2ⁿ – 1)×(2ⁿ – 1)  ставится одно из чисел 1 или – 1. Расстановку чисел назовём удачной, если каждое число равно произведению всех соседних с ним (соседними считаются числа, стоящие в клетках с общей стороной). Найдите число удачных расстановок.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]      

На множестве действительных чисел задана операция * , которая каждым двум числам a и b ставит в соответствие число a*b . Известно, что равенство (a*b)*c=a+b+c выполняется для любых трех чисел a , b и c . Докажите, что a*b=a+b .

Прислать комментарий

Решение

Дан выпуклый n -угольник ( n>3 ), никакие четыре вершины которого не лежат на одной окружности. Окружность, проходящую через три вершины многоугольника и содержащую внутри себя остальные его вершины, назовем описанной. Описанную окружность назовем граничной, если она проходит через три последовательные (соседние) вершины многоугольника; описанную окружность назовем внутренней, если она проходит через три вершины, никакие две из которых не являются соседними вершинами многоугольника. Докажите, что граничных описанных окружностей на две больше, чем внутренних.

Прислать комментарий

Решение

В каждую клетку квадратной таблицы размера  (2ⁿ – 1)×(2ⁿ – 1)  ставится одно из чисел 1 или – 1. Расстановку чисел назовём удачной, если каждое число равно произведению всех соседних с ним (соседними считаются числа, стоящие в клетках с общей стороной). Найдите число удачных расстановок.

Прислать комментарий

Решение

Прямые, параллельные оси Ox, пересекают график функции  y = ax³ + bx² + cx + d:  первая – в точках A, D и E, вторая – в точках B, C и F (см. рис.). Докажите, что длина проекции дуги CD на ось Ox равна сумме длин проекций дуг AB и EF.

Прислать комментарий

Решение

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Точки A₂, B₂, C₂ – середины дуг BAC, CBA, ACB описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]