Докажите, что для каждого x такого, что sin x 0 , найдется такое натуральное n , что | sin nx| .

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

Натуральные числа от 1 до 200 разбили на 50 множеств.
Докажите, что в одном из них найдутся три числа, являющиеся длинами сторон некоторого треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Назовём раскраску доски 8×8 в три цвета хорошей, если в любом уголке из пяти клеток присутствуют клетки всех трёх цветов. (Уголок из пяти клеток – это фигура, получающаяся из квадрата 3×3 вырезанием квадрата 2×2.)  Докажите, что количество хороших раскрасок не меньше чем 6⁸.

Прислать комментарий

Решение

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают описанную окружность этого треугольника в точках A₀ и C₀ соответственно. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника ABC параллельно стороне AC , пересекается с прямой A₀C₀ в точке P . Докажите, что прямая PB касается описанной окружности треугольника ABC .

Прислать комментарий

Решение

Даны  n > 1  приведённых квадратных трёхчленов  x² – a₁x + b₁,  ...,  x² – a_nx + b_n,  причём все 2n чисел  a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_n  различны.
Может ли случиться, что каждое из чисел  a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_n  является корнем одного из этих трёхчленов?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что для каждого x такого, что sin x 0 , найдется такое натуральное n , что | sin nx| .

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]