Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]

Задача 111865 (#08.5.11.5)

Темы:	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Подлипский О.К.

Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел a, b, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений x² – ax + b = 0 и x² – bx + a = 0 имеет два целых корня?

Прислать комментарий

Решение

Задача 111866 (#08.5.11.6)

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Медиана делит площадь пополам	]
	[	Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части	]
	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Фокусник отгадывает площадь выпуклого 2008-угольника A₁A₂... A₂₀₀₈, находящегося за ширмой. Он называет две точки на периметре многоугольника; зрители отмечают эти точки, проводят через них прямую и сообщают фокуснику меньшую из двух площадей частей, на которые 2008-угольник разбивается этой прямой. При этом в качестве точки фокусник может назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указанном им численном отношении. Докажите, что за 2006 вопросов фокусник сможет отгадать площадь многоугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 111867 (#08.5.11.7)

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Окружность Ферма-Аполлония	]
	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Композиции гомотетий	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

Автор: Шмаров В.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD . Пусть P и Q – точки пересечения лучей BA и CD , BC и AD соответственно, а H – проекция D на PQ . Докажите, что четырёхугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда вписанные окружности треугольников ADP и CDQ видны из точки H под равными углами.

Прислать комментарий Решение

Задача 111868 (#08.5.11.8)

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Грибалко А.В.

В блицтурнире принимали участие 2n + 3 шахматиста. Каждый сыграл с каждым ровно по одному разу. Для турнира был составлен такой график, чтобы игры проводились одна за другой, и чтобы каждый игрок после сыгранной партии отдыхал не менее n игр. Докажите, что один из шахматистов, игравших в первой партии, играл и в последней.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]