Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Всероссийская олимпиада по математике
>>
2009-2010
>>
Региональный этап
>>
10 Класс
Фильтр
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Даны N ≥ 3 точек, занумерованных числами 1, 2, ..., N. Каждые две точки соединены стрелкой от меньшего номера к большему. Раскраску всех стрелок в красный и синий цвета назовем однотонной, если нет двух таких точек A и B, что от A до B можно добраться и по красным стрелкам, и по синим. Найдите количество однотонных раскрасок.
Решение
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD , BE и CF , пересекающиеся в точке I . Серединный перпендикуляр к отрезку AD пересекает прямые BE и CF в точках M и N соответственно. Докажите, что точки A , I , M и N лежат на одной окружности.
Решение
Убрать все задачи
Даны N ≥ 3 точек, занумерованных числами 1, 2, ..., N. Каждые две точки соединены стрелкой от меньшего номера к большему. Раскраску всех стрелок в красный и синий цвета назовем однотонной, если нет двух таких точек A и B, что от A до B можно добраться и по красным стрелкам, и по синим. Найдите количество однотонных раскрасок.
РешениеВ треугольнике ABC проведены биссектрисы AD , BE и CF , пересекающиеся в точке I . Серединный перпендикуляр к отрезку AD пересекает прямые BE и CF в точках M и N соответственно. Докажите, что точки A , I , M и N лежат на одной окружности.
Решение
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
Можно ли при каком-то натуральном k разбить все натуральные числа от 1 до k на две группы и выписать числа
в каждой группе подряд в некотором порядке так, чтобы
получились два одинаковых числа?
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD , BE
и CF , пересекающиеся в точке I . Серединный перпендикуляр к отрезку AD пересекает прямые BE и CF в
точках M и N соответственно. Докажите, что точки A , I , M
и N лежат на одной окружности.
Натуральное число b назовём удачным, если для любого натурального a, такого, что a5 делится на b², число a² делится на b.
Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
Задача 115357 (#06.4.10.1) |
|
|
Девять лыжников ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Могло ли оказаться, что каждый лыжник участвовал ровно в четырёх обгонах? (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.)
|
|
Решение |
Задача 115367 (#06.4.10.2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 115359 (#06.4.10.3) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 115360 (#06.4.10.4) |
|
|
Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.
|
|
|
Решение |
Задача 115361 (#06.4.10.5) |
|
|
Ненулевые числа a, b, c таковы, что ax² + bx + c > cx при любом x. Докажите, что cx² – bx + a > cx – b при любом x.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
