Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости отмечены все точки с целыми координатами  (x,y) такие, что x²+y² 1010 . Двое играют в игру (ходят по очереди). Первым ходом первый игрок ставит фишку в какую-то отмеченную точку и стирает ее. Затем каждым очередным ходом игрок переносит фишку в какую-то другую отмеченную точку и стирает ее. При этом длины ходов должны все время увеличиваться; кроме того, запрещено делать ход из точки в симметричную ей относительно центра. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из играющих может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

   Решение

---

По кругу стоят 2009 целых неотрицательных чисел, не превышающих  100 . Разрешается прибавить по 1 к двум соседним числам, причем с любыми двумя соседними числами эту операцию можно проделать не более k  раз. При каком наименьшем k все числа гарантированно можно сделать равными?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115406  (#06.4.10.3)

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ] [ Тригонометрический круг ] [ Количество и сумма делителей числа ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Сколько раз функция   f(x) = cos x cos ^x/₂ cos ^x/₃ ... cos ^x/₂₀₀₉   меняет знак на отрезке  [0, ^2009π/₂] ?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115407  (#06.4.10.4)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Полуинварианты ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

По кругу стоят 2009 целых неотрицательных чисел, не превышающих  100 . Разрешается прибавить по 1 к двум соседним числам, причем с любыми двумя соседними числами эту операцию можно проделать не более k  раз. При каком наименьшем k все числа гарантированно можно сделать равными?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115408  (#06.4.10.5)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Последовательности (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В бесконечной возрастающей последовательности натуральных чисел каждое делится хотя бы на одно из чисел 1005 и 1006, но ни одно не делится на 97. Кроме того, каждые два соседних числа отличаются не более чем на k. При каком наименьшем k такое возможно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115409  (#06.4.10.6)

Темы:   [ Обход графов ] [ Индукция (прочее) ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

  В королевстве N городов, некоторые пары которых соединены непересекающимися дорогами с двусторонним движением (города из такой пары называются соседними). При этом известно, что из каждого города можно доехать до любого другого, но невозможно, выехав из некоторого города и двигаясь по различным дорогам, вернуться в исходный город.
  Однажды Король провел такую реформу: каждый из N мэров городов стал снова мэром одного из N городов, но, возможно, не того города, в котором он работал до реформы. Оказалось, что каждые два мэра, работавшие в соседних городах до реформы, оказались в соседних городах и после реформы. Докажите, что либо найдётся город, в котором мэр после реформы не поменялся, либо найдётся пара соседних городов, обменявшихся мэрами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115410  (#06.4.10.7)

Темы:   [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Метод ГМТ ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 6- Классы: 9,10,11

Окружность с центром  I касается сторон  AB , BC , AC неравнобедренного треугольника  ABC в точках C₁ , A₁ , B₁ соответственно. Окружности  ω_B и  ω_C вписаны в четырехугольники  BA₁IC₁ и  CA₁IB₁ соответственно. Докажите, что общая внутренняя касательная к  ω_B и  ω_C , отличная от  IA₁ , проходит через точку  A .

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями