Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача
116545
(#9.6)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9
|
Вначале на плоскости были отмечены три различные точки. Каждую минуту выбирались некоторые три из отмеченных точек – обозначим их A, B и C, после чего на плоскости отмечалась точка D, симметричная A относительно серединного перпендикуляра к BC. Через сутки оказалось, что среди отмеченных точек нашлись три различные точки, лежащие на одной прямой. Докажите, что три исходных точки также лежали на одной прямой.
Задача
116560
(#10.6)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
На доску выписаны 2011 чисел. Оказалось, что сумма каждых трёх выписанных чисел также является выписанным числом.
Какое наименьшее количество нулей может быть среди этих чисел?
Задача
116568
(#11.6)
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведённые через точки B и C, пересекают касательную к ω, проведённую через точку A, в точках K и L соответственно. Прямая, проведённая через K параллельно AB, пересекается с прямой, проведённой через L параллельно AC, в точке P. Докажите, что BP = CP.
Задача
116546
(#9.7)
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9
|
Найдите все такие тройки простых чисел p, q, r, что четвёртая степень каждого из них, уменьшенная на 1, делится на произведение двух остальных.
Задача
116561
(#10.7)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10
|
В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC точки C0 и B0 – середины сторон AB и AC соответственно, O – центр описанной окружности, H – точка пересечения высот. Прямые BH и OC0 пересекаются в точке P, а прямые CH и OB0 – в точке Q. Оказалось, что четырёхугольник OPHQ – ромб. Докажите, что
точки A, P и Q лежат на одной прямой.
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Фильтр
