Версия для печати
Убрать все задачи
В однокруговом футбольном турнире играли n > 4 команд. За победу давалось 3 очка, за ничью 1, за проигрыш 0. Оказалось, что все команды набрали поровну очков.
а) Докажите, что найдутся четыре команды, имеющие поровну побед, поровну ничьих и поровну поражений.
б) При каком наименьшем n могут не найтись пять таких команд?
Решение
Пусть AF – медиана треугольника ABC, D – середина отрезка AF, E – точка пересечения прямой CD со стороной AB. Оказалось, что BD = BF.
Докажите, что AE = DE.
Решение
Написанное на доске четырехзначное число можно заменить на другое, прибавив к двум
его соседним цифрам по единице, если ни одна из этих цифр не равна 9, либо вычтя из
соседних двух цифр по единице, если ни одна из них не равна 0.
Можно ли с помощью таких операций из числа 1234 получить число 2002?
Решение
Назовем многогранник хорошим, если его
объем (измеренный в м3 ) численно равен площади его поверхности
(измеренной в м2 ).
Можно ли какой-нибудь
хороший тетраэдр разместить внутри какого-нибудь хорошего
параллелепипеда?
Решение
Проведена окружность S с центром в вершине C равнобедренного
треугольника ABC ( AC=BC ). Радиус окружности меньше AC .
Найдите на этой окружности такую точку P , чтобы касательная
к окружности, проведённая в этой точке, делила пополам угол
APB .
Решение
Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все её звенья?
Решение
Фильтр
