На каждой из двенадцати диагоналей граней куба выбирается произвольная точка. Определяется центр тяжести этих двенадцати точек.
Найдите геометрическое место всех таких центров тяжести.

   Решение

Вычислите суммы:

  а)  1 + a cos φ + ... + a^k cos kφ + ... ( |a| < 1);

  б)  a sin φ + ... + a^k sin kφ + ... ( |a| < 1);

  в)  

  г)  

   Решение

а) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться).
б) Найдите сумму всех семизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр 1, ..., 7.

   Решение

На листе бумаги нанесена сетка из n горизонтальных и n вертикальных прямых. Сколько различных замкнутых 2n-звенных ломаных можно провести по линиям сетки так, чтобы каждая ломаная проходила по всем горизонтальным и всем вертикальным прямым?

   Решение

Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 составляются всевозможные семизначные числа, в записи которых каждая из этих цифр встречается ровно один раз.
Доказать, что сумма всех таких чисел делится на 9.

   Решение

Сколькими способами четыре чёрных шара, четыре белых шара и четыре синих шара можно разложить в шесть различных ящиков?

   Решение

Доказать, что на сфере нельзя так расположить три дуги больших окружностей в 300^o каждая, чтобы никакие две из них не имели ни общих точек, ни общих концов.

Примечание: Большая окружность – это окружность, полученная в сечении сферы плоскостью, проходящей через ее центр.

   Решение

Окружности  ,, и  касаются данной окружности в вершинах A, B, C и D выпуклого четырехугольника ABCD. Пусть  t — длина общей касательной к окружностям  и  (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее);  t, t и т. д. определяются аналогично. Докажите, что  tt + tt = tt (обобщенная теорема Птолемея).

   Решение

На стороны BC и CD параллелограмма ABCD (или на их продолжения) опущены перпендикуляры AM и AN.
Докажите, что треугольники MAN и ABC подобны.

   Решение

Доказать, что из одиннадцати произвольных бесконечных десятичных дробей можно выбрать две дроби, разность которых имеет в десятичной записи либо бесконечное число нулей, либо бесконечное число девяток.

   Решение

В трапецию ABCD  (BC || AD)  вписана окружность, касающаяся боковых сторон AB и CD в точках K и L соответственно, а оснований AD и BC в точках M и N.
  а) Пусть Q – точка пересечения отрезков BM и AN. Докажите, что  KQ || AD.
  б) Докажите, что  AK·KB = CL·LD.

   Решение

Петин кот перед дождем всегда чихает. Сегодня он чихнул. ``Значит, будет дождь'' - думает Петя. Прав ли он?

   Решение

На отрезке MN построены подобные, одинаково ориентированные треугольники AMN, NBM и MNC (см. рис.).
Докажите, что треугольник ABC подобен всем этим треугольникам, а центр его описанной окружности равноудален от точек M и N.

   Решение

Углы треугольника ABC связаны соотношением  3α + 2β = 180°. Докажите, что  a² + bc = c².

   Решение

Сколькими способами можно представить 1000000 в виде произведения трёх множителей, если произведения, отличающиеся порядком множителей,
  а) считаются различными?
  б) считаются тождественными?

   Решение

Сколько ожерелий можно составить из пяти одинаковых красных бусинок и двух одинаковых синих бусинок?

   Решение

Сколькими способами из полной колоды (52 карты) можно выбрать
  а) 4 карты разных мастей и достоинств?
  б) 6 карт так, чтобы среди них были представители всех четырех мастей?

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 55]      

Сколько различных четырёхзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4,
  а) если каждая цифра может встречаться только один раз?
  б) если каждая цифра может встречаться несколько раз?

Прислать комментарий

Решение

Труппа театра состоит из 20 артистов. Сколькими способами можно выбрать из неё в течение двух вечеров по шесть человек для участия в спектаклях так, чтобы ни один артист не участвовал в двух спектаклях?

Прислать комментарий

Решение

а) Найдите сумму всех трёхзначных чисел, которые можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться).
б) Найдите сумму всех семизначных чисел, которые можно получить всевозможными перестановками цифр 1, ..., 7.

Прислать комментарий

Решение

Сколькими способами из полной колоды (52 карты) можно выбрать
  а) 4 карты разных мастей и достоинств?
  б) 6 карт так, чтобы среди них были представители всех четырех мастей?

Прислать комментарий

Решение

Сколько существует целых чисел от 0 до 999999, в десятичной записи которых нет двух стоящих рядом одинаковых цифр?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 55]