Окружности радиуса x и y касаются окружности радиуса R, причем расстояние между точками касания равно a. Вычислите длину следующей общей касательной к первым двум окружностям:
а) внешней, если оба касания внешние или внутренние одновременно;
б) внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее.

   Решение

Восстановите треугольник ABC по прямым l_b и l_c, содержащим биссектрисы углов B и C, и основанию биссектрисы угла A – точке L₁.

   Решение

Дан параллелограмм ABCD. Окружность, проходящая через точку A, пересекает отрезки AB, AC и AD в точках P, Q и R соответственно. Докажите, что  AP ^. AB = AR ^. AD = AQ ^. AC.

   Решение

Диагонали AC, BD трапеции ABCD пересекаются в точке P. Описанные окружности треугольников ABP, CDP пересекают прямую AD в точках X, Y. Точка M – середина XY. Докажите, что  BM = CM.

   Решение

Доказать, что в круг радиуса 1 нельзя поместить без наложений два треугольника, площадь каждого из которых больше 1.

   Решение

Существует ли треугольник, для сторон x, y, z которого выполнено соотношение  x³ + y³ + z³ = (x + y)(y + z)(z + x)?

   Решение

Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции двух растяжений и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.

   Решение

Натуральное число A при делении на 1981 дало в остатке 35, при делении на 1982 оно дало в остатке также 35. Каков остаток от деления числа A на 14?

   Решение

Каждая из двух равных окружностей ω₁ и ω₂ проходит через центр другой. Треугольник ABC вписан в ω₁, а прямые AC, BC касаются ω₂.
Докажите, что  cos∠A + cos∠B = 1.

   Решение

Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AB в точке C'. Вписанная окружность треугольника ACC' касается сторон AB и AC в точках C₁, B₁; Вписанная окружность треугольника BCC', касается сторон AB и BC в точках C₂, A₂. Докажите, что прямые B₁C₁, A₂C₂ и CC' пересекаются в одной точке.

   Решение

Волк, Ёж, Чиж и Бобёр делили апельсин. Ежу досталось вдвое больше долек, чем Чижу, Чижу – впятеро меньше, чем Бобру, а Бобру – на 8 долек больше, чем Чижу. Найдите, сколько долек было в апельсине, если Волку досталась только кожура.

   Решение

Решите задачу 5.85, а) с помощью теоремы Менелая.

   Решение

a, b, c – такие три числа, что  a + b + c = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение  ab + ac + bc ≤ 0.

   Решение

Что больше
  а) 2³⁰⁰ или 3²⁰⁰?
  б) 2⁴⁰ или 3²⁸?
  в) 5⁴⁴ или 4⁵³?

   Решение

Какое число больше:  100¹⁰⁰ или 50⁵⁰·150⁵⁰?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 83]      

Найдите все степени чисел 2, 3, 5, 6, 7, 11, 12, лежащие в промежутке от 1 до 10000 и выстройте их по порядку. Найдите среди них пары чисел, разность между которыми не превосходит 10.

Прислать комментарий

Решение

Что больше:  1234567·1234569  или  1234568²?

Прислать комментарий

Решение

Что больше:  ^10...01/_10...01  (в записи числа в числителе – 1984 нуля, в знаменателе – 1985) или  ^10...01/_10...01  (в числителе – 1985 нулей, в знаменателе – 1986).

Прислать комментарий

Решение

Что больше:  ^1234567/_7654321  или  ^1234568/_7654322?

Прислать комментарий

Решение

Какое число больше:  100¹⁰⁰ или 50⁵⁰·150⁵⁰?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 83]