Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике $ABC$ $AL_a$, $BL_b$, $CL_c$ – биссектрисы, $K_a$ – точка пересечения касательных к описанной окружности в вершинах $B$ и $C$; $K_b$, $K_c$ определены аналогично. Докажите, что прямые $K_aL_a$, $K_bL_b$ и $K_cL_c$ пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Дано уравнение  xⁿ – a₁x^n–1 – a₂x^n–2 – ... – a_n–1x – a_n = 0,  где  a₁ ≥ 0,  a₂ ≥ 0,  a_n ≥ 0.
Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

   Решение

---

Четырехугольник $ABCD$ описан вокруг окружности радиуса $R$. Пусть $h_1$ и $h_2$ – высоты опущенные из точки $A$ на стороны $BC$ и $CD$ соответственно. Аналогично $h_3$ и $h_4$ – высоты опущенные из точки $C$ на стороны $AB$ и $AD$. Докажите, что $$ \frac{h_1+h_2-2R}{h_1h_2}=\frac{h_3+h_4-2R}{h_3h_4}. $$

   Решение

---

Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет счастливым, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних. Пусть N – количество счастливых билетов. Докажите равенства:
  а)  (1 + x + ... + x⁹)³(1 + x^–1 + ... + x^–9)³ = x²⁷ + ... + a₁x + N + a₁x + ... + x^–27;
  б)  (1 + x + ... + x⁹)⁶ = 1 + ... + Nx²⁷ + ... + x⁵⁴.
  в) Найдите число счастливых билетов.

   Решение

---

Вычислите суммы:
  а)  

  б)  

   Решение

---

Точка O, лежащая внутри выпуклого четырёхугольника площади S, отражается симметрично относительно середин его сторон.
Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в полученных точках.

   Решение

---

Сторона AD прямоугольника ABCD в три раза больше стороны AB. Точки M и N делят AD на три равные части. Найдите  ∠AMB + ∠ANB + ∠ADB.

   Решение

---

Докажите, что из равенства  P(x) = Q(x)T(x) + R(x)  следует соотношение  (P(x), Q(x)) = (Q(x), R(x)).

   Решение

---

Пусть точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$. Точка $A_1$ симметрична ортоцентру треугольника $PBC$ относительно серединного перпендикуляра к $BC$. Точки $B_1$ и $C_1$ определяются аналогично. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

   Решение

---

Четырехугольник $ABCD$, вписанный в окружность $\omega$, таков что $AD=BD=AC$. Точка $P$ движется по $\omega$. Прямые $AP$ и $DP$ пересекают прямые $CD$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Прямые $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $Q$. Найдите геометрическое место точек $Q$.

   Решение

---

Укажите явный вид коэффициентов в многочленах F_n(x) и L_n(x). Решите задачи 60581 и 60582, используя многочлены Фибоначчи.
Про многочлены Фибоначчи и Люка смотри статьи в справочнике.

   Решение

---

В треугольнике $ABC$ $AH_1$ и $BH_2$ – высоты; касательная к описанной окружности в точке $A$ пересекает $BC$ в точке $S_1$, а касательная в точке $B$ пересекает $AC$ в точке $S_2$; $T_1$ и $T_2$ – середины отрезков $AS_1$ и $BS_2$. Докажите, что $T_1T_2$, $AB$ и $H_1H_2$ пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Вычислите несколько первых многочленов Фибоначчи и Люка (определения многочленов Фибоначчи и Люка смотри здесь). Какие значения эти многочлены принимают при x = 1? Докажите, что многочлены Люка связаны с многочлены Фибоначчи соотношениями:
  а)  L_n(x) = F_n–1(x) + F_n+1(x)  (n ≥ 1);
  б)  F_n(x)(x² + 4) = L_n–1(x) + L_n+1(x)  (n ≥ 1);
  в)  F_2n(x) = L_n(x)F_n(x)  (n ≥ 0);
  г)  (L_n(x))² + (L_n+1(x))² = (x² + 4)F_2n+1(x)  (n ≥ 0);
  д)  F_n+2(x) + F_n–2(x) = (x² + 2)F_n(x).

   Решение

---

В шестиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ никакие четыре вершины не лежат на одной окружности, а диагонали $A_1A_4$, $A_2A_5$ и $A_3A_6$ пересекаются в одной точке. Обозначим через $l_i$ радикальную ось окружностей $A_iA_{i+1}A_{i-2}$ и $A_iA_{i-1}A_{i+2}$ (мы считаем, что точки $A_i$ и $A_{i+6}$ совпадают). Докажите, что прямые $l_i$, $i=1,\ldots,6$, пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Вычислите:

а) (1 + x)^-1;     б) (1 - x)^-1;    в) (1 - x)^-2.

   Решение

---

Докажите, что при  x ≥ 0  имеет место неравенство  

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 83]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30879  (#036)

Тема:   [ Неравенство Коши ]

Сложность: 2 Классы: 6,7

Докажите, что при  x ≥ 0  имеет место неравенство  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30880  (#037)

Тема:   [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3 Классы: 6,7

Сумма двух неотрицательных чисел равна 10. Какое максимальное и какое минимальное значение может принимать сумма их квадратов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30881  (#038)

Тема:   [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Докажите неравенство Коши для пяти чисел, то есть докажите, что при   a, b, c , d e ≥ 0 имеет место неравенство

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30882  (#039)

Темы:   [ Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 4- Классы: 9

Решите уравнение  a² + b² + c² + d² – ab – bc – cd – d + ²/₅ = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30883  (#040)

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

a + b = 1.  Каково максимальное значение величины ab?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 83]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями