Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника площади S, равна 3S/4.

   Решение

---

Решите уравнение  a² + b² + c² + d² – ab – bc – cd – d + ²/₅ = 0.

   Решение

---

Два автобуса ехали навстречу друг другу с постоянными скоростями. Первый выехал из Москвы в 11 часов утра и прибыл в Ярославль в 16 часов, а второй выехал из Ярославля в 12 часов и прибыл в Москву в 17 часов. В котором часу они встретились?

   Решение

---

В треугольнике ABC точки М и N – середины сторон АС и АВ соответственно. На медиане ВМ выбрана точка Р, не лежащая на CN. Оказалось, что
PC = 2PN.  Докажите, что  АР = ВС.

   Решение

---

а) Докажите, что производящая функция последовательности чисел Фибоначчи   F(x) = F₀ + F₁x + F₂x² + ... + F_nxⁿ + ...

может быть записана в виде     где   = ,  = .

б) Пользуясь результатом задачи 61490, получите формулу Бине (см. задачу 60578.

   Решение

---

Вычислите производящие функции следующих последовательностей:

а) an = n;    б) an = n2;    в) an = Cmn.

   Решение

---

Докажите, что степень точки P относительно окружности S равна d² - R², где R — радиус S, d — расстояние от точки P до центра S.

   Решение

---

Функции a, b и c заданы рядами

   

   

   

Докажите, что   a³ + b³ + c³ – 3abc = (1 + x³)ⁿ.

   Решение

---

Четырехугольник $ABCD$ без равных и без параллельных сторон описан около окружности с центром $I$. Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Известно, что $AB\cdot CD=4IK\cdot IM$. Докажите, что $BC\cdot AD=4IL\cdot IN$.

   Решение

---

Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых – треугольники с площадями S₁, S₂, S₃. Найдите площадь S данного треугольника.

   Решение

---

Лягушка прыгает по вершинам треугольника ABC, перемещаясь каждый раз в одну из соседних вершин.
Сколькими способами она может попасть из A в A за n прыжков?

   Решение

---

Садовник, привив черенок редкого растения, оставляет его расти два года, а затем ежегодно берет от него по 6 черенков. С каждым новым черенком он поступает аналогично. Сколько будет растений и черенков на n-ом году роста первоначального растения?

   Решение

---

Найдите у чисел   а)  (6 + )¹⁹⁹⁹;   б)  (6 + )¹⁹⁹⁹;   в)  (6 + )²⁰⁰⁰   первые 1000 знаков после запятой.

   Решение

---

Как будет выглядеть формула n-го члена для рекуррентной последовательности k-го порядка, если
  a) характеристическое уравнение имеет простые корни  x₁,..., x_k,  отличные от нуля;
  б) характеристическое уравнение имеет отличные от нуля корни  x₁, ..., x_m  с кратностями  α₁, ..., α_m  соответственно?
Определения, связанные с рекуррентными последовательностями, смотри в справочнике.

   Решение

---

Дан треугольник $ABC$. На сторонах $AB$ и $BC$ взяты точки $M$ и $N$ так, что $MN\parallel AC$. Точки $M'$ и $N'$ симметричны соответственно точкам $M$ и $N$ относительно сторон $BC$ и $AB$ соответственно. Пусть $M'A$ пересекает $BC$ в точке $X$, а $N'C$ пересекает $AB$ в точке $Y$. Докажите, что точки $A$, $C$, $X$, $Y$ лежат на одной окружности.

   Решение

---

В треугольнике $ABC$ $O$ – центр описанной окружности, $H$ – ортоцентр, $M$ – середина $AB$. Прямая $MH$ пересекает прямую, проходящую через $O$ и параллельную $AB$, в точке $K$, лежащей на описанной окружности треугольника. Точка $P$ – проекция $K$ на $AC$. Докажите, что $PH\parallel BC$.

   Решение

---

Докажите, что при всех натуральных n выполняется сравнение [(1 + )ⁿ] n(mod 2).

   Решение

---

На рисунке изображен график функции  y = (a² – 1)(x² – 1) + (a – 1)(x – 1). Найдите координаты точки А.

   Решение

---

Докажите, что для точки P, лежащей вне окружности S, ее степень относительно S равна квадрату длины касательной, проведенной из этой точки.

   Решение

---

Докажите неравенство Коши для пяти чисел, то есть докажите, что при   a, b, c , d e ≥ 0 имеет место неравенство

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 83]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 30879  (#036)

Тема:   [ Неравенство Коши ]

Сложность: 2 Классы: 6,7

Докажите, что при  x ≥ 0  имеет место неравенство  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30880  (#037)

Тема:   [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3 Классы: 6,7

Сумма двух неотрицательных чисел равна 10. Какое максимальное и какое минимальное значение может принимать сумма их квадратов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30881  (#038)

Тема:   [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Докажите неравенство Коши для пяти чисел, то есть докажите, что при   a, b, c , d e ≥ 0 имеет место неравенство

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30882  (#039)

Темы:   [ Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 4- Классы: 9

Решите уравнение  a² + b² + c² + d² – ab – bc – cd – d + ²/₅ = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30883  (#040)

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

a + b = 1.  Каково максимальное значение величины ab?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 83]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями