Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки
>>
глава 16. Неравенства
Фильтр
Выбрано 15 задач Убрать все задачи
Построить прямоугольный треугольник по двум медианам, проведённым к катетам.
a, b, c ≥ 0. Докажите, что 2(a³ + b³ + c³) ≥ a²b + ab² + a²c + ac² + b²c + bc².
Верно ли, что из любых 10 отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник?
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) проведена высота $AA_0$. Окружность $\gamma$ с центром в середине $AA_0$ касается прямых $AB$ и $AC$. Из точки $X$ прямой $BC$ проведены две касательные к $\gamma$. Докажите, что эти касательные высекают на прямых $AB$ и $AC$ равные отрезки.
Докажите, что при любом x выполняется неравенство x(x + 1)(x + 2)(x + 3) ≥ –1.
Найдите наибольший общий делитель многочленов P(x), Q(x) и представьте его в виде P(x)U(x) + Q(x)V(x):
а) P(x) = x4 + x³ – 3x² – 4x – 1, Q(x) = x³ + x² – x – 1;
б) P(x) = 3x4 – 5x³ + 4x² – 2x + 1, Q(x) = 3x³ – 2x² + x – 1.
Найти последнюю цифру числа 1·2 + 2·3 + ... + 999·1000.
Пусть (P(x), Q(x)) = D(x).
Докажите, что существуют такие многочлены U(x) и V(x), что degU (x) < deg Q(x), deg V(x) < deg P(x) и
P(x)U(x) + Q(x)V(x) = D(x).
Сколько цифр у числа 21000?
На сколько нулей оканчивается число 9999 + 1?
Сумма двух неотрицательных чисел равна 10. Какое максимальное и какое минимальное значение может принимать сумма их квадратов?
Докажите, что для произвольных a, b, с равенство выполнено тогда и только тогда, когда выполнено равенство
.
Определим последовательности {xn} и {yn} при помощи условий:
Докажите, что многочлен a³(b² – c²) + b³(c² – a²) + c³(a² – b²) делится на (b – c)(c – a)(a – b).
a + b = 1. Каково максимальное значение величины ab?
Задачи Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 83]
Задача 30879 (#036) |
|
|
Докажите, что при x ≥ 0 имеет место неравенство
|
|
Решение |
Задача 30880 (#037) |
|
|
Сумма двух неотрицательных чисел равна 10. Какое максимальное и какое минимальное значение может принимать сумма их квадратов?
|
|
Решение |
Задача 30881 (#038) |
|
|
Докажите неравенство Коши для пяти чисел, то есть докажите, что при a, b, c , d e ≥ 0 имеет место неравенство
|
|
|
Решение |
Задача 30882 (#039) |
|
|
Решите уравнение a² + b² + c² + d² – ab – bc – cd – d + 2/5 = 0.
|
|
|
Решение |
Задача 30883 (#040) |
|
|
a + b = 1. Каково максимальное значение величины ab?
|
|
|
Решение |
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 83]
