Каталог по источникам

Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js

ЗАДАЧИ
problems.ru

О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |

Проект МЦНМО
при участии
школы 57

Все источники >> Книги, журналы >> Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел >> глава 1. Метод математической индукции

Параграфы:

параграф 1. Аксиома индукции (7 задач)
параграф 2. Тождества, неравенства и делимость (33 задачи)
параграф 3. Индукция в геометрии и комбинаторике (19 задач)

Фильтр

Выбрано 20 задач

Версия для печати
Убрать все задачи

Известно, что в кодовом замке исправны только кнопки с номерами 1, 2, 3, а код этого замка трёхзначен и не содержит других цифр. Написать последовательность цифр наименьшей длины, наверняка открывающую этот замок (замок открывается, как только подряд и в правильном порядке нажаты все три цифры его кода).

Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с вписанной окружностью, пересекаются в одной точке.

Точки A, B, C, D, E, F лежат на одной окружности. Докажите, что точки пересечения прямых AB и DE, BC и EF, CD и FA лежат на одной прямой (Паскаль).

а) ctg $\alpha$ + ctg $\beta$ + ctg $\gamma$ $\geq$ $\sqrt{3}$ ;
б) tg( $\alpha$ /2) + tg( $\beta$ /2) + tg( $\gamma$ /2) $\geq$ $\sqrt{3}$ .

а) Прямые l₁ и l₂ параллельны. Докажите, что S_l₁oS_l₂ = T_2a, где T_a — параллельный перенос, переводящий l₁ в l₂, причем a $\perp$ l₁.
б) Прямые l₁ и l₂ пересекаются в точке O. Докажите, что S_l₂oS_l₁ = R²_O, где R_O — поворот, переводящий l₁ в l₂.

Докажите, что если при n = 2, ..., 10, то

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
sin 2 $\alpha$ + sin 2 $\beta$ + sin 2 $\gamma$ = 4 sin $\alpha$ sin $\beta$ sin $\gamma$ .

Каждая из шести окружностей касается четырех из оставшихся пяти (рис.). Докажите, что для любой пары несоприкасающихся окружностей (из этих шести) их радиусы и расстояние между центрами связаны соотношением d² = r₁² + r₂²±6r₁r₂ (к плюск — если окружности не лежат одна внутри другой, к минуск — в противном случае).

Доказать, что
а) Степень двойки не может оканчиваться на четыре одинаковых цифры.
б) Квадрат не может состоять из одинаковых цифр (если он не однозначный).
в) Квадрат не может оканчиваться на четыре одинаковых цифры.

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, B₁, B₂, C₁, C₂. Докажите, что если окружности, описанные около треугольников A₁B₁C₁, A₁B₂C₂, A₂B₁C₂, A₂B₂C₁, проходят через одну точку, то и окружности, описанные около треугольников A₂B₂C₂, A₂B₁C₁, A₁B₂C₁, A₁B₁C₂, проходят через одну точку.

а) cos² $\alpha$ + cos² $\beta$ + cos² $\gamma$ $\geq$ 3/4.
б) Для тупоугольного треугольника

cos² $\displaystyle \alpha$ + cos² $\displaystyle \beta$ + cos² $\displaystyle \gamma$ > 1.

Докажите тождество: ${\dfrac{1^2}{1\cdot3}}$ + ${\dfrac{2^2}{3\cdot5}}$ +...+ ${\dfrac{n^2}{(2n-1)(2n+1)}}$ = ${\dfrac{n(n+1)}{2(2n+1)}}$ .

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а) cos 2 $\alpha$ + cos 2 $\beta$ + cos 2 $\gamma$ + 4 cos $\alpha$ cos $\beta$ cos $\gamma$ + 1 = 0;
б) cos² $\alpha$ + cos² $\beta$ + cos² $\gamma$ + 2 cos $\alpha$ cos $\beta$ cos $\gamma$ = 1.
в) cos 2 $\alpha$ + cos 2 $\beta$ + cos 2 $\gamma$ = ${\frac{OH^2}{2R^2}}$ - ${\frac{3}{2}}$ , где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот.

Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно разрезать двумя взаимно перпендикулярными прямыми на четыре фигуры равной площади.

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а) ctg $\alpha$ ctg $\beta$ + ctg $\beta$ ctg $\gamma$ + ctg $\alpha$ ctg $\gamma$ = 1;
б) ctg $\alpha$ + ctg $\beta$ + ctg $\gamma$ - ctg $\alpha$ ctg $\beta$ ctg $\gamma$ = 1/(sin $\alpha$ sin $\beta$ sin $\gamma$ ).

Докажите, что при повороте на угол $\alpha$ с центром в начале координат точка с координатами (x, y) переходит в точку

(x cos $\displaystyle \alpha$ - y sin $\displaystyle \alpha$ , x sin $\displaystyle \alpha$ + y cos $\displaystyle \alpha$ ).

Докажите, что для двух непересекающихся окружностей R₁ и R₂ цепочка из n касающихся окружностей (см. предыдущую задачу) существует тогда и только тогда, когда угол между окружностями T₁ и T₂, касающимися R₁ и R₂ в точках их пересечения с прямой, соединяющей центры, равен целому кратному угла 360^o/n (рис.).

а) cos $\alpha$ cos $\beta$ + cos $\beta$ cos $\gamma$ + cos $\gamma$ cos $\alpha$ $\leq$ 3/4.

Используя проективные преобразования прямой, решите задачу о бабочке (задача 30.44).

Доказать, что n³ + 5n делится на 6 при любом целом n.

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]

Задача 60289 (#01.016)

Тема:

[

Рекуррентные соотношения

]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Числа a₀, a₁,..., a_n,... определены следующим образом:

a₀ = 2, a₁ = 3, a_{n + 1} = 3a_n - 2a_{n - 1} (n $\displaystyle \geqslant$ 2).

Найдите и докажите формулу для этих чисел.

Прислать комментарий

Задача 60290 (#01.017)

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
Темы:	[	Разложение на множители	]

Сложность: 2+
Классы: 9,10

Докажите, что для любого натурального n 10ⁿ + 18n – 1 делится на 27.

Прислать комментарий

Задача 30607 (#01.018)

Тема:

[

Арифметика остатков (прочее)

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что 11ⁿ⁺² + 12²ⁿ⁺¹ делится на 133 при любом натуральном n.

Прислать комментарий

Задача 60292 (#01.019)

Тема:

[

Арифметика остатков (прочее)

]

Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Докажите, что для любого натурального n 2⁵ⁿ⁺³ + 5ⁿ·3ⁿ⁺² делится на 17.

Прислать комментарий

Задача 31250 (#01.020)

Тема:

[

Арифметика остатков (прочее)

]

Сложность: 2+
Классы: 6,7,8

Доказать, что n³ + 5n делится на 6 при любом целом n.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 59]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)

Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .