Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Турнир городов
>>
6 турнир (1984/1985 год)
>>
весенний тур, основной вариант, 9-10 класс
Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
Заданы N-вершинный ориентированный граф с двумя выделенными вершинами
v1
и v2
и целое число C. Требуется:
1) определить, существует ли в заданном графе путь из вершины v1
в вершину v2, состоящий из C ребер (путь может иметь самопересечения как по
вершинам, так и по ребрам);
2) найти минимум функции |
X
-
C
|, где X – количество ребер в некотором пути из v1
в v2
.
Входные данные
Первая строка входного файла содержит целое число N – количество вершин в
графе (1 ≤ N ≤ 10). В следующих N строках расположена матрица
N × N из нулей и единиц, элемент (i, j) которой равен единице, если в графе есть ребро из
вершины i в вершину j, и нулю, если такого ребра нет. (Граф может содержать
петли, т.е. ребра, идущие из вершины в саму себя). Элементы матрицы во
входном файле записаны без разделительных пробелов.
Наконец, строка N+2 содержит номера вершин v1
и v2
, а строка N+3 – десятичную запись числа C (1 &le C <
1050).
Выходные данные
В первую строку выходного файла выведите ответ на первый пункт задачи:
«Yes», если путь длины C существует, и «No», если нет. Во вторую строку
запишите ответ на второй пункт задачи. Если ни одного пути из v1
в v2
не существует, ваша программа должна вывести -1.
Пример входного файла
3
010
001
100
1 1
555555555555555555555555555555555
Пример выходного файла
Yes
0
Нарисуйте многоугольник и точку на его границе так, что любая прямая, проходящая через эту точку, делит площадь этого многоугольника пополам.
Рассматривается конечное множество M единичных квадратов на плоскости. Их стороны параллельны осям координат (разрешается, чтобы квадраты пересекались). Известно, что для любой пары квадратов расстояние между их центрами не больше 2. Докажите, что существует единичный квадрат (не обязательно из множества M) со сторонами, параллельными осям, пересекающийся хотя бы по точке с каждым квадратом множества M.
На доске записано несколько последовательных натуральных чисел. Ровно 52% из них – чётные. Сколько чётных чисел записано на доске?
Петя подсчитал количество всех возможных m-буквенных слов, в записи которых могут использоваться только четыре буквы T, O, W и N, причём в каждом слове букв T и O поровну. Вася подсчитал количество всех возможных 2m-буквенных слов, в записи которых могут использоваться только две буквы T и O, и в каждом слове этих букв поровну. У кого слов получилось больше? (Слово – это любая последовательность букв.)
На сторонах угла взяты точки A, B. Через середину M отрезка AB проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны угла в точках A1, B1, другая – в точках A2 , B2. Прямые A1B2 и A2B1 пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что M – середина PQ.
Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, CA, ABв точках A', B', C' соответственно. Прямые AA', BB' и CC' пересекаются в точке G. Описанная окружность треугольника GA'B', вторично пересекает прямые AC и BC в точках CA и CB. Аналогично определяются точки AB, AC, BC, BA. Докажите, что точки AB, AC, BC, BA, CA, CB лежат на одной окружности.
Дано:
Докажите, что
В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ученику.
Докажите, что площадь проекции куба с ребром 1 на любую плоскость численно равна длине его проекции на прямую, перпендикулярную этой плоскости.
Задачи Страница: 1 [Всего задач: 5]
Задача 34996 (#1) |
|
|
Докажите, что площадь проекции куба с ребром 1 на любую плоскость численно равна длине его проекции на прямую, перпендикулярную этой плоскости.
|
|
Решение |
Задача 97875 (#2) |
|
|
Радиус OM круга равномерно вращается, поворачиваясь в секунду на угол 360°/N (N – натуральное число, большее 3). В начальный момент он занимал положение OM0, через секунду – OM1, ещё через две секунды после этого (то есть через три секунды после начала) – OM2, ещё через три секунды после этого – OM3, и т. д., ещё через N – 1 секунду после ОМN–2 – OMN–1.
При каких N эти положения радиуса делят круг на N равных секторов?
а) Верно ли, что к числу таких N относятся все степени двойки?
б) Относятся ли к числу таких N какие-либо числа, не являющиеся
степенями двойки?
|
|
Решение |
Задача 97876 (#3) |
|
|
В классе 32 ученика. Было организовано 33 кружка, причём каждый кружок состоит из трёх человек и никакие два кружка не совпадают по составу. Доказать, что найдутся такие два кружка, которые пересекаются ровно по одному ученику.
|
|
|
Решение |
Задача 97877 (#4) |
|
|
Выпуклой фигурой F нельзя накрыть полукруг радиуса R. Может ли случиться, что двумя фигурами, равными F, можно накрыть круг радиуса R?
|
|
|
Решение |
Задача 97878 (#5) |
|
|
а) Квадрат разбит на прямоугольники. Цепочкой называется такое подмножество K множества этих прямоугольников, что существует сторона S квадрата, целиком закрытая проекциями прямоугольников из K, но при этом ни в какую точку S не проектируются внутренние точки двух прямоугольников из K (мы относим к прямоугольнику и его стороны). Доказать, что любые два прямоугольника разбиения входят в некоторую цепочку.
б) Аналогичная задача для куба, разбитого на прямоугольные параллелепипеды (в определении цепочки нужно заменить сторону на ребро).
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 5]
