Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 3. Окружности
>>
параграф 1. Касательные к окружностям
Фильтр
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
а) В круг площади S вписан правильный n-угольник площади S1, а около этого круга описан правильный n-угольник площади S2. Докажите, что S2 > S1S2.
б) В окружность, длина которой равна L, вписан правильный n-угольник периметра P1, а около этой окружности описан правильный n-угольник периметра P2. Докажите, что L2 < P1P2.
Решение
Решение
Решение
Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком плюс, а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком минус. Докажите, что для любого такого пути сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.
Решение
Убрать все задачи
а) В круг площади S вписан правильный n-угольник площади S1, а около этого круга описан правильный n-угольник площади S2. Докажите, что S2 > S1S2.
б) В окружность, длина которой равна L, вписан правильный n-угольник периметра P1, а около этой окружности описан правильный n-угольник периметра P2. Докажите, что L2 < P1P2.
РешениеПоследовательность чисел x1, x2, ... такова, что x1 = ½ и для всякого натурального k.
Найдите целую часть суммы
Решениеа) Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A1A2A3...An. Рассматриваются углы AiOAj при всевозможных парах (i, j) (i, j – различные натуральные числа от 1 до n). Докажите, что среди этих углов найдётся по крайней мере n – 1 не острых (прямых, тупых или развёрнутых) углов.
б) То же для выпуклого многогранника, имеющего n вершин.
РешениеДана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком плюс, а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком минус. Докажите, что для любого такого пути сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.
Решение
Задачи
Страница: << 1 2 [Всего задач: 9]
К двум окружностям различного радиуса проведены
общие внешние касательные AB и CD. Докажите, что
четырехугольник ABCD описанный тогда и только тогда,
когда окружности касаются.
Дан параллелограмм ABCD. Вневписанная окружность
треугольника ABD касается продолжений сторон AD и AB в
точках M и N. Докажите, что точки пересечения отрезка MN с BC
и CD лежат на вписанной окружности треугольника BCD.
На каждой стороне четырехугольника ABCD взято по две
точки, и они соединены так, как показано на рис. Докажите, что если
все пять заштрихованных четырехугольников описанные,
то четырехугольник ABCD тоже описанный.
Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой
ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем
путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру
окружности, берём со знаком плюс, а участки пути, по которым мы
удалялись от центра, — со знаком минус. Докажите, что для любого
такого пути сумма длин участков пути, взятых с указанными
знаками, равна нулю.
Страница: << 1 2 [Всего задач: 9]
Задача 56662 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 56663 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 56664 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 56665 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 [Всего задач: 9]
