Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 5. Треугольники >> параграф 6. Разные задачи
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 14 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Расположить на прямой систему отрезков длины 1, не имеющих общих концов и общих точек так, чтобы бесконечная арифметическая прогрессия с любой разностью и любым начальным членом имела общую точку с некоторым отрезком системы.

Вниз   Решение

Как надо расположить числа  1, 2, ..., 2n  в последовательности  a1, a2, ..., a2n,  чтобы сумма  |a1 – a2| + |a2 – a3| + ... + |a2n–1 – a2n| + |a2n – a1|  была наибольшей?

ВверхВниз   Решение

Имеется 1955 точек. Какое максимальное число троек можно из них выбрать так, чтобы каждые две тройки имели ровно одну общую точку?

ВверхВниз   Решение

Проведём в выпуклом многоугольнике некоторые диагонали так, что никакие две из них не пересекаются (из одной вершины могут выходить несколько диагоналей). Доказать, что найдутся по крайней мере две вершины многоугольника, из которых не проведено ни одной диагонали.

ВверхВниз   Решение

Правильный треугольник, одна сторона которого отмечена, отражается симметрично относительно одной из своих сторон. Полученный треугольник в свою очередь отражается и т.д., пока на некотором шаге треугольник не придёт в первоначальное положение. Доказать, что при этом отмеченная сторона также займёт исходное положение.

ВверхВниз   Решение

Существует ли такое натуральное n, что  n² + n + 1  делится на 1955?

ВверхВниз   Решение

Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A1...An и соединена отрезками с вершинами. Стороны n-угольника нумеруются числами от 1 до n, разные стороны нумеруются разными числами. То же самое делается с отрезками OA1, ..., OAn.
  а) При  n = 9  найти нумерацию, при которой сумма номеров сторон для всех треугольников A1OA2, ..., AnOA1 одинакова.
  б) Доказать, что при  n = 10  такой нумерации осуществить нельзя.

ВверхВниз   Решение

Даны n карточек; на обеих сторонах каждой карточки написано по одному из чисел 1, 2,..., n, причём так, что каждое число встречается на всех n карточках ровно два раза. Доказать, что карточки можно разложить на столе так, что сверху окажутся все числа: 1, 2,..., n.

ВверхВниз   Решение

Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и построены точки A1, B1 и C1, симметричные O относительно середин сторон BC, CA и AB. Докажите, что треугольники ABC и A1B1C1 равны и прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение

Числа [a], [2a], ..., [Na] различны между собой, и числа $ \left[\vphantom{\frac{1}{a}}\right.$$ {\frac{1}{a}}$$ \left.\vphantom{\frac{1}{a}}\right]$, $ \left[\vphantom{\frac{2}{a}}\right.$$ {\frac{2}{a}}$$ \left.\vphantom{\frac{2}{a}}\right]$, ..., $ \left[\vphantom{\frac{M}{a}}\right.$$ {\frac{M}{a}}$$ \left.\vphantom{\frac{M}{a}}\right]$ тоже различны между собой. Найти все такие a.

ВверхВниз   Решение

Две окружности касаются друг друга внешним образом и третьей изнутри. Проводятся внешняя и внутренняя общие касательные к первым двум окружностям. Доказать, что внутренняя касательная делит пополам дугу, отсекаемую внешней касательной на третьей окружности.

ВверхВниз   Решение

В шахматном турнире каждый участник сыграл с каждым из остальных одну партию.
Доказать, что участников можно так занумеровать, что окажется, что ни один участник не проиграл непосредственно за ним следующему.

ВверхВниз   Решение

На данной прямой l, проходящей через центр O данной окружности, фиксирована точка C (расположенная внутри окружности — прим. ред.). Точки A и A' расположены на окружности по одну сторону от l так, что углы, образованные прямыми AC и A'C с прямой l, равны. Обозначим через B точку пересечения прямых AA' и l. Доказать, что положение точки B не зависит от точки A.

ВверхВниз   Решение

Треугольники ABC и A1B1C1 таковы, что их соответственные углы равны или составляют в сумме 180°.
Докажите, что в действительности все соответственные углы равны.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      

  с решениями  

Задача 56877

Тема:   [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Треугольники ABC и A1B1C1 таковы, что их соответственные углы равны или составляют в сумме 180°.
Докажите, что в действительности все соответственные углы равны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56879

Темы:   [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Периметр треугольника ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Через точку O пересечения биссектрис треугольника ABC проведены прямые, параллельные его сторонам. Прямая, параллельная AB, пересекает AC и BC в точках M и N, а прямые, параллельные AC и BC, пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что  MN = AM + BN  и периметр треугольника OPQ равен длине отрезка AB.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56894

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Вневписанные окружности ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

На сторонах правильного треугольника ABC как на основаниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники  A1BC, AB1C и ABC1 с углами α, β и γ при основаниях, причём  α + β + γ = 60°.  Прямые BC1 и B1C пересекаются в точке A2, AC1 и A1C – в точке B2, AB1 и A1B – в точке C2. Докажите, что углы треугольника A2B2C2 равны 3α, 3β и 3γ.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56878

Темы:   [ Свойства симметрии и центра симметрии ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и построены точки A1, B1 и C1, симметричные O относительно середин сторон BC, CA и AB. Докажите, что треугольники ABC и A1B1C1 равны и прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56880

Темы:   [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

а) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
б) Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC, R – радиус описанной окружности. Докажите, что  AH² + BC² = 4R²  и  AH = BC |ctg α|.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .