Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 5. Треугольники
>>
параграф 6. Разные задачи
Фильтр
Выбрано 11 задач Убрать все задачи
а) Квадрат со стороной 1 покрыт несколькими меньшими квадратами
со сторонами, параллельными его сторонам. Докажите, что среди
них можно выбрать непересекающиеся квадраты, сумма площадей
которых не меньше 1/9.
б) Площадь объединения нескольких кругов равна 1. Докажите, что
из них можно выбрать несколько попарно непересекающихся кругов с
общей площадью не менее 1/9.
Точка X расположена внутри параллелограмма ABCD. Докажите, что SABX+SCDX=SBCX+SADX.
На плоскости лежат две одинаковые буквы .
Концы коротких палочек этих букв обозначим A и A'.
Длинные палочки разбиты на n равных частей точками
A1,..., An - 1;
A1',..., An - 1' (точки деления
нумеруются от концов длинных палочек). Прямые AAi и A'Ai'
пересекаются в точке Xi. Докажите, что точки
X1,..., Xn - 1
образуют выпуклый многоугольник.
а) Определение (смотри в справочнике)
функций gk,l(x) не позволяет вычислять их значения при x = 1. Но, поскольку функции gk,l(x) являются многочленами, они определены и при x = 1. Докажите равенство
б) Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи 61522 подставить значение x = 1?
В пачке 20 карточек: синие, красные и желтые. Синих в шесть раз меньше, чем желтых, и красных меньше, чем желтых. Какое наименьшее количество карточек надо вытащить не глядя, чтобы среди них обязательно оказалась красная?
Треугольник, составленный: а) из медиан; б) из высот треугольника ABC, подобен треугольнику ABC.
Каким соотношением связаны длины сторон треугольника ABC?
На клетчатом листе закрасили 25 клеток. Может ли каждая из них иметь нечётное число закрашенных соседей?
Разрежьте правильный шестиугольник на 5 частей и сложите из них
квадрат.
На отрезке длиной 1 расположено несколько отрезков, полностью
его покрывающих. Докажите, что можно выбросить некоторые из них
так, чтобы оставшиеся по-прежнему покрывали отрезок и сумма их
длин не превосходила 2.
Поворот с центром O переводит прямую l1 в прямую l2, а точку A1, лежащую на прямой l1, — в точку A2.
Докажите, что точка пересечения прямых l1 и l2 лежит на
описанной окружности треугольника A1OA2.
Треугольники ABC и A1B1C1 таковы, что их соответственные углы равны или составляют в сумме 180°.
Докажите, что в действительности все соответственные углы равны.
Задачи Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]
Задача 56877 |
|
|
Треугольники ABC и A1B1C1 таковы, что их соответственные углы равны или составляют в сумме 180°.
Докажите, что в действительности все соответственные углы равны.
|
|
Решение |
Задача 56879 |
|
|
Через точку O пересечения биссектрис треугольника ABC проведены прямые, параллельные его сторонам. Прямая, параллельная AB, пересекает AC и BC в точках M и N, а прямые, параллельные AC и BC, пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что MN = AM + BN и периметр треугольника OPQ равен длине отрезка AB.
|
|
Решение |
Задача 56894 |
|
|
На сторонах правильного треугольника ABC как на основаниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники A1BC, AB1C и ABC1 с углами α, β и γ при основаниях, причём α + β + γ = 60°. Прямые BC1 и B1C пересекаются в точке A2, AC1 и A1C – в точке B2, AB1 и A1B – в точке C2. Докажите, что углы треугольника A2B2C2 равны 3α, 3β и 3γ.
|
|
|
Решение |
Задача 56878 |
|
|
Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и построены точки A1, B1 и C1, симметричные O относительно середин сторон BC, CA и AB. Докажите, что треугольники ABC и A1B1C1 равны и прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
|
|
|
Решение |
Задача 56880 |
|
|
а) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
б) Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC, R – радиус описанной окружности. Докажите, что AH² + BC² = 4R² и AH = BC |ctg α|.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]
