Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]

Задача 56877

Тема:

[

Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.

]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ таковы, что их соответственные углы равны или составляют в сумме 180°.
Докажите, что в действительности все соответственные углы равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56879

Темы:	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Периметр треугольника	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Через точку O пересечения биссектрис треугольника ABC проведены прямые, параллельные его сторонам. Прямая, параллельная AB, пересекает AC и BC в точках M и N, а прямые, параллельные AC и BC, пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что MN = AM + BN и периметр треугольника OPQ равен длине отрезка AB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56894

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Вневписанные окружности	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

На сторонах правильного треугольника ABC как на основаниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники A₁BC, AB₁C и ABC₁ с углами α, β и γ при основаниях, причём α + β + γ = 60°. Прямые BC₁ и B₁C пересекаются в точке A₂, AC₁ и A₁C – в точке B₂, AB₁ и A₁B – в точке C₂. Докажите, что углы треугольника A₂B₂C₂ равны 3α, 3β и 3γ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56878

Темы:	[	Свойства симметрии и центра симметрии	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и построены точки A₁, B₁ и C₁, симметричные O относительно середин сторон BC, CA и AB. Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны и прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56880

Темы:	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

а) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
б) Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC, R – радиус описанной окружности. Докажите, что AH² + BC² = 4R² и AH = BC |ctg α|.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]