Стороны BC, CA и AB треугольника ABC касаются окружности с центром O в точках A₁, B₁ и C₁. На лучах OA₁, OB₁ и OC₁ отложены равные отрезки OA₂, OB₂ и OC₂. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      

Прямые AP, BP и CP пересекают стороны треугольника ABC (или их продолжения) в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что:
а) прямые, проходящие через середины сторон BC, CA и AB параллельно прямым AP, BP и CP, пересекаются в одной точке;
б) прямые, соединяющие середины сторон BC, CA и AB с серединами отрезков AA₁, BB₁ и CC₁, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Прямые A₁B₁ и A₁C₁ пересекают прямую, проходящую через вершину A параллельно стороне BC, в точках C₂ и B₂ соответственно. Докажите, что AB₂ = AC₂.

Прислать комментарий

Решение

а) Пусть  , и  — произвольные углы, причем сумма любых двух из них меньше  180^o. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники  A₁BC, AB₁C и ABC₁, имеющие при вершинах A, B и C углы  , и . Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC внутренним образом.

Прислать комментарий

Решение

Стороны BC, CA и AB треугольника ABC касаются окружности с центром O в точках A₁, B₁ и C₁. На лучах OA₁, OB₁ и OC₁ отложены равные отрезки OA₂, OB₂ и OC₂. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Прямые AP, BP и CP пересекают прямые BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Точки A₂, B₂ и C₂ выбраны на прямых BC, CA и AB так, что  : = : ,  : = : и  : = : . Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ тоже пересекаются в одной точке Q (или параллельны).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]