Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Две стороны треугольника имеют длины 6 и 10, причём угол между ними острый. Площадь этого треугольника равна 18. Найдите третью сторону треугольника.

Вниз   Решение


Указать все денежные суммы, выраженные целым числом рублей, которые могут быть представлены как чётным, так и нечётным числом денежных билетов. (В обращении имелись билеты достоинством в 1, 3, 5, 10, 25, 50 и 100 рублей.)

ВверхВниз   Решение


Докажите, что отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC треугольника ABC как на диаметрах, лежит на прямой BC.

ВверхВниз   Решение


Двое играют на треугольной доске (см. рис.), закрашивая по очереди на ней треугольные клеточки. Одна клетка (начальная) уже закрашена перед началом игры.
Первым ходом закрашивается клеточка, граничащая (по стороне) с начальной, а каждым следующим ходом — клетка, граничащая с только что закрашенной. Повторно клетки красить нельзя. Тот, кто не может сделать ход, проигрывает. Кто — начинающий или его соперник — победит в этой игре, как бы ни играл его партнёр?
Рассмотрите случаи:
а) Начальная клетка — угловая, поле любого размера;
б) Поле и начальная клетка как на рисунке к этому заданию;
в) Общий случай: поле любого размера, и начальная клетка в нём произвольная.
г) Дополнительное задание. Можно подумать, что начальная клетка определяет исход партии независимо от действий игроков. Нарисуйте, однако, на каком-нибудь поле примеры таких двух партий с одной и той же начальной клеткой, чтобы в первой побеждал начинающий, а во второй — его партнёр. Для удобства нумеруйте клетки: начальная — 0, первым ходом красится клетка 1, вторым — 2 и т. д.


ВверхВниз   Решение


Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a . Боковая грань образует с плоскостью основания угол 45o . Найдите высоту пирамиды.

ВверхВниз   Решение


На основании AB равнобедренного треугольника ABC даны точки A1 и B1. Известно, что   AB1 = BA1.
Докажите, что треугольник AB1C равен треугольнику BA1C.

ВверхВниз   Решение


На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1. Докажите, что площадь одного из треугольников  AB1C1, A1BC1, A1B1C не превосходит:
а) SABC/4;
б)  SA1B1C1.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 7]      



Задача 57469

Тема:   [ Неравенства для площади треугольника ]
Сложность: 5+
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1. Докажите, что площадь одного из треугольников  AB1C1, A1BC1, A1B1C не превосходит:
а) SABC/4;
б)  SA1B1C1.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57466

Тема:   [ Неравенства для площади треугольника ]
Сложность: 7
Классы: 9

Пусть a, b, c и a', b', c' — длины сторон треугольников ABC и A'B'C', S и S' — их площади. Докажите, что

a2(- a'2 + b'2 + c'2) + b2(a'2 - b'2 + c'2) + c2(a'2 + b'2 - c'2)$\displaystyle \ge$16SS',

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда эти треугольники подобны (Пидо).
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .