ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 14. Центр масс >> параграф 5. Барицентрические координаты
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

а) Из точки A, лежащей вне окружности, выходят лучи AB и AC, пересекающие эту окружность. Докажите, что величина угла BAC равна полуразности угловых величин дуг окружности, заключенных внутри этого угла.

б) Вершина угла BAC расположена внутри окружности. Докажите, что величина угла BAC равна полусумме угловых величин дуг окружности, заключенных внутри угла BAC и внутри угла, симметричного ему относительно вершины A.

Вниз   Решение

а) Докажите, что точки с барицентрическими координатами ($ \alpha$ : $ \beta$ : $ \gamma$) и  ($ \alpha^{-1}_{}$ : $ \beta^{-1}_{}$ : $ \gamma^{-1}_{}$) изотомически сопряжены относительно треугольника ABC.
б) Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c. Докажите, что точки с барицентрическими координатами ($ \alpha$ : $ \beta$ : $ \gamma$) и  (a2/$ \alpha$ : b2/$ \beta$ : c2/$ \gamma$) изогонально сопряжены относительно треугольника ABC.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      

  с решениями  

Задача 57783  (#14.035)

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Пусть ($ \alpha$ : $ \beta$ : $ \gamma$) — абсолютные барицентрические координаты точки X; M — центр масс треугольника ABC. Докажите, что 3$ \overrightarrow{XM}$ = ($ \alpha$ - $ \beta$)$ \overrightarrow{AB}$ + ($ \beta$ - $ \gamma$)$ \overrightarrow{BC}$ + ($ \gamma$ - $ \alpha$)$ \overrightarrow{CA}$.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57784  (#14.037B)

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 5
Классы: 9,10

а) Вычислите барицентрические координаты точки Нагеля N.
б) Пусть N — точка Нагеля, M — центр масс, I — центр вписанной окружности треугольника ABC. Докажите, что $ \overrightarrow{NM}$ = 2$ \overrightarrow{MI}$; в частности точка N лежит на прямой MI.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57785  (#14.036)

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 5
Классы: 9,10

Пусть M — центр масс треугольника ABC, X — произвольная точка. На прямых BC, CA и AB взяты точки A1, B1 и C1 так, что A1X| AM, B1X| BM и  C1X| CM. Докажите, что центр масс M1 треугольника A1B1C1 совпадает с серединой отрезка MX.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57786  (#14.037)

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10

Найдите уравнение описанной окружности треугольника A1A2A3 в барицентрических координатах.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57787  (#14.038)

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

а) Докажите, что точки с барицентрическими координатами ($ \alpha$ : $ \beta$ : $ \gamma$) и  ($ \alpha^{-1}_{}$ : $ \beta^{-1}_{}$ : $ \gamma^{-1}_{}$) изотомически сопряжены относительно треугольника ABC.
б) Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c. Докажите, что точки с барицентрическими координатами ($ \alpha$ : $ \beta$ : $ \gamma$) и  (a2/$ \alpha$ : b2/$ \beta$ : c2/$ \gamma$) изогонально сопряжены относительно треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 18]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .