Каталог по источникам

Выбрано 12 задач

Докажите, что в треугольнике угол A острый тогда и только тогда, когда m_a > a/2.

На плоскости взяты шесть точек A₁, A₂, A₃, B₁, B₂, B₃. Докажите, что если описанные окружности треугольников A₁A₂B₃, A₁B₂A₃ и B₁A₂A₃ проходят через одну точку, то и описанные окружности треугольников B₁B₂A₃, B₁A₂B₃ и A₁B₂B₃ пересекаются в одной точке.

Решение

AL – биссектриса треугольника ABC, K – такая точка на стороне AC, что CK = CL. Прямая KL и биссектриса угла B пересекаются в точке P.
Докажите, что AP = PL.

Решение

Взяли три числа x, y, z. Вычислили абсолютные величины попарных разностей x₁ = |x - y|, y₁ = |y - z|, z₁ = |z - x|. Тем же способом по числам x₁, y₁, z₁ построили числа x₂, y₂, z₂ и т.д. Оказалось, что при некотором n x_n = x, y_n = y, z_n = z. Зная, что x = 1, найти y и z.

Решение

Докажите, что для любого n существует окружность, на которой лежит ровно n целочисленных точек.

Решение

Докажите, что проективное преобразование прямой однозначно определяется образами трех произвольных точек.

Решение

Биссектриса треугольника делит одну из его сторон на отрезки 3 см и 5 см. В каких границах изменяется периметр треугольника?

Решение

Пусть хорды KL и MN проходят через середину O хорды AB. Докажите, что прямые KN и ML пересекают прямую AB в точках, равноудаленных от точки O.

Решение

Через центр окружности проведены еще четыре окружности, касающиеся данной (см. рис.). Сравните площади фигур, выделенных на рисунке черным и серым цветом соответственно.

Решение

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AC и BC в точках B₁ и A₁. Докажите, что если AC > BC, то AA₁ > BB₁.

Решение

Продолжения биссектрис треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что S_ABC/S_A₁B₁C₁ = 2r/R, где r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Решение

В треугольнике ABC проведена медиана AM. Докажите, что 2AM $\ge$ (b + c)cos( $\alpha$ /2).

Решение

Задача 57882

Задача 57883

Задача 57884

Задача 57885

Задача 57886